Lösung Hängebrücke

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/26 18:42

    • r(x)=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{11}\cdot (32-x)=0 \ \Leftrightarrow \ x=32
      Das Abspannseil und damit auch die Fahrbahn enden also rechts an der Stelle x=32. Da die Brücke achsensymmetrisch ist und somit links vom Ursprung genauso lang ist wie rechts und die Längeneinheit im Koordinatensystem 10m entspricht, gilt für die Länge:
      2 \cdot 32 \cdot 10 \text{m}=640 \text{m}
      Somit ist die  Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m lang.
    • Aus Symmetriegründen gilt l(x)=r(-x). Aus Teilaufgabe a. ist bereits bekannt, dass die Fahrbahn an der Stelle x=-32 beginnen muss. Aus dem Aufgabentext geht hervor, dass die Pfeiler einen Abstand von 400m haben. Es gilt somit für den Abstand von Fahrbahnbeginn zum linken Pfeiler: \frac{640\text{m}-400\text{m}}{2}=120 \text{m} \ \widehat{=} \ 12 \text{LE}. Dadurch ergibt sich das Intervall \left[-32;-20\right].
    • r(20)\cdot 10 \text{m}+20 \text{m} \approx 70 \text{m}
    • r^\prime(x)=-\frac{23}{100}\cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}
      \tan(\alpha)=r^\prime(20) \ \Leftrightarrow \ \alpha=\tan^{-1}(r^\prime(20))=\left(-\frac{23}{100}\cdot e^{\frac{1}{11}(32-20)}\right) liefert für die gesuchte Winkelgröße 90^\circ + \alpha \approx 56^\circ
    • \int\limits_{20}^{32} r(x) \mathrm{d}x=\frac{253}{100}\cdot \left[-11 \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}-x\right]_{20}^{32} \approx 25
      Der Flächeninhalt beträgt etwa 2500 \text{m}^2.

    • Der Funktionsterm ist ganzrational und enthält Potenzen von x ausschließlich mit geradzahligen Exponenten.
    • s(x)-s(x-4)=0,5
    • Mit dem Term kann die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden.
      Begründung: Der Term s(-20+1,6\cdot k) gibt für jedes der 24 Halteseile die Länge im Modell an. Der Faktor 10 berücksichtigt den verwendeten Maßstab.
    • Die Lösung der Gleichung ermöglicht die Berechnung des Abstands desjenigen Punktes des rechten Pfeilers zum Tragseil, der auf der Höhe der Fahrbahn liegt.
      Begründung: Die Lösung der Gleichung ist die x-Koordinate desjenigen Punkts P des Graphen von s, dessen Verbindungsstrecke zum Punkt \left(20|0\right) senkrecht zur Tangente an den Graphen von s in P steht. 
    • LösungHängebrücke.pngMit \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{20}{\frac{1699}{36}-5} ergibt für die Länge des Kreisbogens \frac{\beta}{360^\circ}\cdot 2\pi \cdot \left(\frac{1699}{36}-\frac{1}{2}\right)\approx 41,3.
      Das Tragseil ist etwa 413m lang.