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\(f_{\frac{3}{2}}^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+x-\frac{7}{4}\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt2\) In der Abbildung ist zu erkennen, dass der Graph bei der ersten Wendestelle eine positive Steigung hat und bei der zweiten Wendestelle eine negative Steigung. Folglich ist die gesuchte kleinste Steigung: \(f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x_2\right)\approx-2,0668\)
\(f_a\left(0\right)=a^2\ \ \Rightarrow\ \ \ S_y\left(0\middle| a^2\right)\) ist Schnittpunkt mit der y-Achse. \(f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=a\ \ \ \Rightarrow\ \ \ S_x\left(a\middle|0\right)\) ist (einziger) Schnittpunkt mit der x-Achse. \(f_a^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+\left(4-2a\right)x+a^2-2-4a\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_a^{\prime\prime}\left(a\right)=e^a\cdot\left(a^2+4a-2a^2+a^2-2-4a\right)=-2\cdot e^a<0\) Da \(x=a\) eine doppelte Nullstelle ist, an der der Graph rechtsgekrümmt ist, liegt dort der Tiefpunkt.
