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Lösung Schalldruck1

Version 1.1 von akukin am 2024/03/21 19:58
  1. f_{\frac{3}{2}}^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+x-\frac{7}{4}\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt2
    In der Abbildung ist zu erkennen, dass der Graph bei der ersten Wendestelle eine positive Steigung hat und bei der zweiten Wendestelle eine negative Steigung. Folglich ist die gesuchte kleinste Steigung:
    f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x_2\right)\approx-2,0668
  2. f_a\left(0\right)=a^2\ \ \Rightarrow\ \ \ S_y\left(0\middle| a^2\right) ist Schnittpunkt mit der y-Achse.
    f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=a\ \ \ \Rightarrow\ \ \ S_x\left(a\middle|0\right) ist (einziger) Schnittpunkt mit der x-Achse.
    f_a^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+\left(4-2a\right)x+a^2-2-4a\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_a^{\prime\prime}\left(a\right)=e^a\cdot\left(a^2+4a-2a^2+a^2-2-4a\right)=-2\cdot e^a<0
    Da x=a eine doppelte Nullstelle ist, an der der Graph rechtsgekrümmt ist, liegt dort der Tiefpunkt.
  3. A\left(a\right)=\int_{0}^{a}{f_a\left(x\right)\mathrm{d} x}=\left[e^x\cdot\left(x^2+\left(-2-2a\right)x+a^2+2a+2\right)\right]_0^a=2e^a-\left(a^2+2a+2\right)
    A\left(a\right)=3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2e^a=a^2+2a+5\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\approx1,7588