BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt
K1 Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
K1 Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
K5 Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
K5, K6 Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen e
K6 Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern e
K5, K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen g
Deutung des bestimmten Integrals
Näherungsweise Berechnung von Integralen mittels Flächenzerlegung
1 Abschätzungs und Untersumme (15 min) 𝕃
Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{4}x^2+1\). Gesucht ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der \(x\)-Achse im Intervall \([0;4]\).
a)
 | Schätze den Flächeninhalt mit der Methode „Kästchen zählen“ ab. Bestimme, wie groß der Flächeninhalt mindestens bzw. höchstens ist. |
Das Intervall wird zur genaueren Berechnung der Fläche in \(n\) gleich große Teilintervalle der Breite \(\Delta x\) aufgeteilt.
| \(n=1\) | \(n=2\) | \(n=4\) |
 |  |  |
b) Gib mithilfe der obigen Abbildungen jeweils \(\Delta x\) an. Beschreibe, wie sich dies jeweils berechnen lässt.
*) Gib eine Berechnungsformel an, wie sich für allgemeines \(n\) bei einem gegebenen Intervall \([a;b]\) die Breite \(\Delta x\) der Teilintervalle berechnen lässt.
c) Beschreibe anhand der Graphen, wie sich jeweils die Höhe der Rechtecke berechnen lässt.
d) Berechne für \(n=2\) und \(n=4\) die rot schraffierte Rechtecksumme und vergleiche die Ergebnisse.
e) Bestimme für \(n=8\) die Anzahl der Rechtecke sowie deren Breite \(\Delta x\).
Zeichne die zugehörigen Rechtecke in die Abbildung unten ein und bestimme die neue Näherung der Fläche.
| AFB II, III - K5 K6 | Quelle Jonathan Weis |