BPE 13.1 Bestandsrekonstruktion und Orientierter Flächeninhalt

Zuletzt geändert von VBS am 2023/10/13 08:05

Inhalt

K1 Ich kann das bestimmte Integral als rekonstruierten Bestand deuten
K1 Ich kann das bestimmte Integral als Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse deuten
K5 Ich kann den Wert bestimmter Integrale mittels Flächenzerlegung näherungsweise ermitteln
K5, K6 Ich kann den propädeutischen Grenzwertbegriff beim Übergang von Unter- und Obersummen zum bestimmten Integral nutzen  e 
K6 Ich kann den Wert eines bestimmten Integrals als Bilanz orientierter Flächeninhalte interpretieren
K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals erläutern  e 
K5, K6 Ich kann die Eigenschaften des bestimmten Integrals nutzen  g 

Deutung des bestimmten Integrals

Näherungsweise Berechnung von Integralen mittels Flächenzerlegung

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=\frac{1}{4}x^2+1. Gesucht ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall [0;4].

a)

Untersumme_0.pngSchätze den Flächeninhalt mit der Methode „Kästchen zählen“ ab. Bestimme, wie groß der Flächeninhalt mindestens bzw. höchstens ist.

Das Intervall wird zur genaueren Berechnung der Fläche in n gleich große Teilintervalle der Breite \Delta x aufgeteilt.

n=1 n=2 n=4
Untersumme_2.png Untersumme_3.png Untersumme_4.png

b) Gib mithilfe der obigen Abbildungen jeweils \Delta x an. Beschreibe, wie sich dies jeweils berechnen lässt.

*) Gib eine Berechnungsformel an, wie sich für allgemeines n bei einem gegebenen Intervall [a;b] die Breite \Delta x der Teilintervalle berechnen lässt.

c) Beschreibe anhand der Graphen, wie sich jeweils die Höhe der Rechtecke berechnen lässt.

d) Berechne für n=2 und n=4 die rot schraffierte Rechtecksumme und vergleiche die Ergebnisse.

e) Bestimme für n=8 die Anzahl der Rechtecke sowie deren Breite \Delta x.
Zeichne die zugehörigen Rechtecke in die Abbildung unten ein und bestimme die neue Näherung der Fläche.
Untersumme_0.png

AFB   II, IIIKompetenzen   K5 K6Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Jonathan WeisLizenz   CC BY-SA

Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe

Orientierter Flächeninhalt

Eigenschaften des bestimmten Integrals


Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000000
II000000
III000000
Bearbeitungszeit gesamt: 15 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst