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Wiki-Quellcode von Lösung Funktionsschar

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/02 13:07
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}a=3{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Die Punktprobe mit {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} liefert den gesuchten Wert von {{formula}}a{{/formula}}:
9 <br>
10 {{formula}}f\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}}
11 <br>
12 {{formula}}f\left(1\right)=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^3+a\cdot1^2=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2a=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=3{{/formula}}
13 <br>
14 <br>
15 Hinweis: Ein Rechenweg oder eine Begründung ist nicht notwendig, da der Operator „angeben“ verwendet wurde. Es genügt zu schreiben „{{formula}}a=3{{/formula}}“.
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17 {{/detail}}
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19 === Teilaufgabe 2 ===
20 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
21 {{formula}}f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ ax^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=-1\ \ \vee\ \ x=0
22 {{/formula}}
23 <br>
24 <br>
25 {{formula}}\int_{-1}^{0}{\left(ax^3+ax^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}ax^3\right]_{-1}^0=\frac{1}{12}a
26 {{/formula}}
27 {{/detail}}
28
29
30 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
31 Zuerst müssen die beiden Nullstellen ermittelt werden, da diese die linken und rechten Grenzen der Fläche und damit des Integrals sind.
32 {{formula}}f\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^3+3x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0 \ \ \text{oder} \ \ x=-1{{/formula}}
33 <br>
34 (Satz vom Nullprodukt)
35 <br>
36 <br>
37 Zu berechnen ist also folgendes Integral:
38 <br>
39 {{formula}}\int_{-1}^{0}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\int_{-1}^{0}{\left(3x^3+3x^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{3}{4}x^4+x^3\right]_{-1}^0=0-\left(\frac{3}{4}\cdot\left(-1\right)^4+\left(-1\right)^3\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
40 <br>
41 <br>
42 Folglich ist der gesuchte Flächeninhalt:
43 <br>
44 {{formula}}A=\frac{1}{4}{{/formula}}
45
46 {{/detail}}