BPE 13.3 Flächeninhalte, Anwendung

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/07/31 12:56

Inhalt

K5 Ich kann Flächeninhalte berechnen
K5 K4 Ich kann Flächeninhalte auch im Anwendungskontext berechnen
K5 Ich kann Volumen von Körpern, die durch Rotation um die x-Achse entstehen berechnen e
K5 K4 Ich kann Volumen von Körpern auch im Anwendungskontext berechnen e
K5 K1 Ich kann elementargeometrische Volumenformeln nachweisen e

Aufgabe 1 Fläche zwischen Tiefpunkten 𝕃

Die Funktion f ist gegeben durch $f(x)=2+2sin(\frac{\pi}{2}x); x\in\mathbb{R}$ . Das Schaubild von f ist K.

Zwischen zwei benachbarten Tiefpunkten von K schließen K und die x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

AFB 2	Kompetenzen K5 K4	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Abitur Hauptprüfung 2012/2013 Teil 1 Aufgabe 1		Lizenz k.A.

Aufgabe 2 Gabriels Horn (eAN)𝕃

Volumen- und Mantelflächeninhalte - Gabriels Horn - Torricellis Trompete
Die Funktion f ist gegeben durch $f(x)=\frac{1}{x}$ mit der Defintionsmenge $D=[1;\infty[$ .

a) Berechne den Rauminhalt des Drehkörpers, der entsteht, wenn man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall $I=[1;\infty[$ um die x-Achse rotiert.
b) Zeige, dass die Mantelfläche M (Oberfläche des Rotationskörpers) des Rotationskörpers unendlich ist. Hinweis: Schätze die Mantelfläche dazu gegen eine Fläche ab, die kleiner ist als die Mantelfläche, aber immer noch einen unendlichen Wert besitzt. Hierzu bietet sich die harmonische Reihe an für die gilt $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty$ .
c) Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers lässt sich exakt durch $M(x)= 2\, \pi\cdot \int_a^b f(x) \cdot \sqrt{1+f'(x)^2} dx$ berechnen Begründe wie man mit der Mantelformel die Behauptung aus der b) bestätigen kann. Hinweis: Da sich das Integral mit schulischen Mitteln nicht lösen lässt verwende die Abschätzung $\sqrt{1+f'(x)^2} \geq 1$ für alle $x \in \mathbb{R}$ .

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Niklas Wunder		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Fläche, Quadrat (eAN)𝕃

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f:x\mapsto-x^2+2ax$ mit $a\in\left]1;+\infty\right[$ . Die Nullstellen von sind und .

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ hat.
Der Hochpunkt des Graphen von liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimme den Wert von .