Lösung Funktionsterm aus Grafik

Aufgrund des Verlaufs des Graphen lässt sich vermuten, dass es sich entweder um eine trigonometrische Funktion oder eine ungerade ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handelt.

1.Trignometrische Funktion:
Da der gegebene Graph periodisch verläuft, kann er durch eine trigonometrischen Funktion beschreiben werden.
Weil er durch den Ursprung verläuft, bietet sich als Ansatz eine Sinusfunktion an:
\(f(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d\)

Wir bestimmen die einzelnen Parameter:
\(a\): Die Funktionswerte liegen zwischen −3 und 3. Somit ist die Amplitude gegeben durch \(a=3\).
\(c\) und \(d\): Da keine Verschiebung vorliegt, ist \(c=d=0\).
\(b\): Zwischen Minimum bei \(x=−1\) und Maximum bei \(x=1\) liegt eine halbe Periode. Somit beträgt die volle Periodenlänge \(p=4\). Damit ist \(b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\).

Insgesamt: \(f(x)=3\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)

2.Ganzrationale Funktion:
Da der Graph zwei Extremstellen besitzt (an der Stelle \(x=-1\) und \(x=1\)), muss die Funktion mindestens dritten Grades sein.
Zudem ist der Graph (näherungsweise) punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher enthält der Funktionsterm nur ungerade Potenzen.
Wir wählen als Ansatz: \(f(x)=a_1x^3+a_3x\).
Aus dem Schaubild können wir beispielsweise die Punkte \((1|3)\) und \((-2|0)\) entnehmen. Diese setzen wir in den Funktionsterm ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:
\(\begin{align*} 3&=a_1+a_3 \\ 0&=-8 a_1-2a_3 \end{align*}\)
Dieses lösen wir und erhalten \(a_1=-1\) und \(a_3=4\).

Somit:
\(f(x)=-x^3+4x\)

Hinweis: Der Funktionsterm ist nicht eindeutig bestimmt, da aus dem dargestellten Graphen nur ein Ausschnitt gegeben ist und somit nicht alle Eigenschaften der Funktion eindeutig festgelegt sind.