Lösung Funktionsterm aus Wertetabelle

a) Es liegt eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor, da \(f(-x)=f(x)\).
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind aufgrund der aus der Wertetabelle erkennbaren Vorzeichenwechsel von \(f\) zwischen \(x=-2\) und \(x=-1\), zwischen \(x=1\) und \(x=2\), zwischen \(x=2\) und \(x=3\) sowie zwischen \(x=-3\) und \(x=-2\) (Achsensymmetrie!) zu finden. Der y-Achsenschnittpunkt zwischen \(S_y(0|5)\). Die Extrempunkte sind: \(T_1(-2|-3)\), \(T_2(2|-3)\) und \(H(0|5)\). Die Wendepunkte sind aufgrund der aus der Wertetabelle erkennbaren Vorzeichenwechsel von \(f''\) zwischen \(x=-2\) und \(x=-1\) sowie zwischen \(x=1\) und \(x=2\).

b) Aufgrund der Achsensymmetrie zur y-Achse ergibt sich als Ansatz:
\(f(x)=ax^4+cx^2+e\)
\(f'(x)=4ax^3+2cx\)
\(f''(x)=12ax+2c\)
\(H(0|5)\) ist Kurvenpunkt: \(f(0)=5\): \(e=5\)
\(T_2(2|-3)\) ist Kurvenpunkt: \(f(2)=-3\): \(16a+4c+5=-3\)
\(T_2(2|-3)\) ist Tiefpunkt: \(f'(2)=0\): \(32a+4c=0\)
Durch Lösen des entstandenen linearen Gleichungssystems erhält man \(a=\frac{1}{2}\) und \(c=-4\). Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \(f(x)=\frac{1}{2}x^4-4x^2+5\).

c) Alternativ kann die Funktionsgleichung mit einem Produktansatz für \(f'(x)\) schneller bestimmt werden:
\(f'(x)=ax(x+2)(x-2)\)
\(f'(x)=ax(x^2-4)\)
Mit z.B. \(f'(-1)=6\) ergibt sich \(a=2\).
Somit lautet \(f'(x)=2x^3-8x\).
Die Stammfunktion von \(f'\) ist \(f(x)=\frac{1}{2}x^4-4x^2+e\).
Mit \(f(0)=5\) lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \(f(x)=\frac{1}{2}x^4-4x^2+5\).