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Wiki-Quellcode von Lösung Parameter bestimmen

Zuletzt geändert von akukin am 2026/03/23 18:49
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1 Um die gesuchten Parameter zu stimmen, setzen wir die gegebenen Punkte jeweils in die Funktionsgleichung ein:
2
3 1. ((({{formula}}S_x(-2|0){{/formula}}: {{formula}}0=ae^{k(-2)}(-2-c){{/formula}}
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5 Nach dem Satz vom Nullprodukt muss mindestens einer der drei Faktoren {{formula}}a, e^{k(-2)}{{/formula}} oder {{formula}}(2-c){{/formula}} null sein, damit die Gleichung erfüllt ist.
6 Da für die e-Funktion für alle {{formula}}k{{/formula}} {{formula}}e^{k(-2)}\neq 0{{/formula}} gilt, muss somit entweder {{formula}}a=0{{/formula}} oder {{formula}}(-2-c)=0{{/formula}} gelten.
7
8 Für {{formula}}a=0{{/formula}} würde die entstehende Nullfunktion {{formula}}f(x)=0{{/formula}} jedoch durch keine der gegebenen Punkte gehen.
9
10 Somit muss {{formula}}(-2-c)=0{{/formula}} gelten und wir erhalten durch Umstellen {{formula}}(-2-c)=0 \ \Leftrightarrow \ c=-2{{/formula}}.
11
12 Bisher lautet die Funktionsgleichung damit {{formula}}f(x)=ae^{kx}(x-(-2))=ae^{kx}(x+2){{/formula}}
13 )))
14 1. ((({{formula}}S_y(0|6){{/formula}}: {{formula}}6=ae^{k\cdot 0}(0+2)=ae^0\cdot 2=a\cdot 1\cdot 2=2a{{/formula}}
15
16 Somit:
17 {{formula}}
18 \begin{align*}
19 6&=2a \mid :2 \\
20 \Leftrightarrow a&=3
21 \end{align*}
22 {{/formula}}
23
24 Bisher lautet die Funktion also {{formula}}f(x)=3e^{kx}(x+2){{/formula}}
25 )))
26 1. ((({{formula}}P(1|1){{/formula}}: {{formula}}1=3e^{k\cdot 1}(1+2)=3e^k\cdot 3= 9e^k{{/formula}}
27
28 Umstellen nach {{formula}}k{{/formula}}:
29 {{formula}}
30 \begin{align*}
31 1=9e^k \mid : 9 \\
32 e^k=\frac{1}{9} \mid \ln \\
33 k=\ln\left(\frac{1}{9}\right)
34 \end{align*}
35 {{/formula}}
36 )))
37
38 Die Parameter sind somit gegeben durch {{formula}}a=3, c=-2{{/formula}} und {{formula}}k=\ln\left(\frac{1}{9}\right){{/formula}}.