Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
\(A_{Rechteck} = x \cdot y\)
\(A_{Halbkreis} = \pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}\) \(A_{Kreis}= \pi \cdot r^2\)
\( U_{Rechteck} = 2x+y \)
\(U_{Halbkreis} = 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2}\) \(U_{Kreis}=2\pi r\)
Die Hauptbedingung lautet
\(L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\).
Die Nebenbedingung lautet
\( U= 2x + y + 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 \).
Nach Umstellen der Nebenbedingung nach \(x\) ergibt sich
\(x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\)
Einsetzen von \(x\) in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
mit den ersten beiden Ableitungen
\(L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575\)
\(L''(y)\approx -1,76\).
Durch die notwendige Bedingung \(L'(y)=0\) ergibt sich
\(0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575\)
und somit folgt nach Umstellen \(y\approx 0,893\).
Nun muss noch die hinreichende Bedingung (\(L''(y) \neq 0\)) geprüft werden:
\(L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow\) Maximum
An den Randwerten des Definitionsbereiches \(D=]0;\frac{4}{\pi +1}]\) erhält man
\(L(0)=0\) und \(L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698\).
Demnach liegt bei \(y \approx 0,893\) ein globales Maximum vor, denn \(L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698\) (und \(L(0,893)>L(0)=0\)).
Für \(x\) ergibt sich also
\(x= -\frac{1}{2}\cdot 0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60\)
Schlussendlich erhält man
\(A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358\)m2
\(A_{Haklkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}\cdot 0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31\)m2
und damit
\(A_{ges,max}= 0,5358\)m2 \(+0,31\)m2 \(=0,8458\)m2