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Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 10:51

Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:

$A_{Rechteck} = x \cdot y$
$A_{Halbkreis} = \pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}$ $A_{Kreis}= \pi \cdot r^2$
$U_{Rechteck} = 2x+y$
$U_{Halbkreis} = 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2}$ $U_{Kreis}=2\pi r$

Die Hauptbedingung lautet
$L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7$ .

Die Nebenbedingung lautet
$U= 2x + y + 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5$ .

Nach Umstellen der Nebenbedingung nach ergibt sich
$x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75$

Einsetzen von in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion

$\begin{align*} L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\ &=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y \end{align*}$

mit den ersten beiden Ableitungen
$L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575$
$L''(y)\approx -1,76$ .

Durch die notwendige Bedingung L'(y)=0 ergibt sich
$0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575$
und somit folgt nach Umstellen $y\approx 0,893$ .

Nun muss noch die hinreichende Bedingung ( $L''(y) \neq 0$ ) geprüft werden:

$L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow$ Maximum

An den Randwerten des Definitionsbereiches $D=]0;\frac{4}{\pi +1}]$ erhält man
L(0)=0 und $L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698$ .

Demnach liegt bei $y \approx 0,893$ ein globales Maximum vor, denn $L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698$ (und L(0,893)>L(0)=0 ).

Für ergibt sich also
$x= -\frac{1}{2}\cdot 0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60$

Schlussendlich erhält man
$A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358$ m²
$A_{Haklkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}\cdot 0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31$ m²
und damit
$A_{ges,max}= 0,5358$ m² +0,31 m² =0,8458 m²

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