Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
\(A_{Rechteck} = x \cdot y\)
\(A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}\) \(A_{Kreis}= \pi \cdot r^2\)
\( U_{Rechteck} = 2x+y \)
\(U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}\) \(U_{Kreis}=2\pi r\)
Die Hauptbedingung lautet
\(L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\).
Die Nebenbedingung lautet
\( U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 \).
Nach Umstellen der Nebenbedingung nach \(x\) ergibt sich
\(x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\)
Einsetzen von \(x\) in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion:
\(\begin{align}
L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7 \\
&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
\end{align}\)
\(L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575\)
\(L''(y)\approx -1,76\)
\(L'(y)=0\)
\(0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575\)
\(y\approx 0,893\)
\(L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow\) Maximum