Gegeben: \( \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};\)
Geschwindigkeit von \(A\) nach \(D\): \(v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}\);
Geschwindigkeit von \(D\) nach \(C\): \(v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}\)
Gesucht: \(x\)
Da der Sportler den Weg von \(D\) zu \(C\) 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von \(A\) zu \(D\), lautet die Hauptbedingung:
\(S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}\)
Die Nebenbedingungen lauten:
\(\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}\)
\(\overline{DC}= 1000 - x\)
Somit lautet die Zielfunktion:
\(S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x \)
mit den Ableitungen
\(S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1\)
\(S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}\)
Durch die notwendige Bedingung \(S'(x)=0\) ergibt sich
\(\begin{align*}
\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1=0 \mid +1\\
\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}= 1 \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
6x = \sqrt{500^2+x^2} \mid ()^2 \\
36x^2= 500^2+x^2 \mid -x^2 \\
35x^2 = 500^2 \mid :35 \\
x^2 = \frac{500^2}{35} \mid \sqrt \\
x_1,2 = \pm \frac{100\sqrt{35}}{7}
\end{align*}\)