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Lösung Fluß

Version 13.1 von akukin am 2024/01/17 14:24

Fluss.PNG

Gegeben: \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};
Geschwindigkeit von A nach D: v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}};
Geschwindigkeit von D nach C: v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}

Gesucht: x

Da der Sportler den Weg von D zu C 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von A zu D, lautet die Hauptbedingung:
S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}

Die Nebenbedingungen lauten:
\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}
\overline{DC}= 1000 - x

Somit lautet die Zielfunktion:
S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x

mit den Ableitungen

S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1
S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}

Durch die notwendige Bedingung S'(x)=0 ergibt sich
\begin{align*} \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1=0 \mid +1\\ \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}= 1 \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ 6x = \sqrt{500^2+x^2} \mid ()^2 \\ 36x^2= 500^2+x^2 \mid -x^2 \\ 35x^2 = 500^2 \mid :35 \\ x^2 = \frac{500^2}{35} \mid \sqrt \\ x_1,2 = \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} \end{align*}