*Aktuelle Menge: 1100 Stück
*Aktueller Preis: 30€
*Preisänderung: -1€ \( \rightarrow \) + 50St
Die Hauptbedingung lautet
\( E = x \cdot p \) mit \(x\)= Menge und \(p\)= Preis
Die Nebenbedingungen lauten:
\(x=1100+50z\)
\(p= 30-z\)
Dabei ist \(z{{formula}} die Preissenkung in €.
Damit ist die **Zielfunktion** gegeben durch
{{formula}}E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000{{/formula}}
mit den Ableitungen
{{formula}}E'(z)=-100z+400{{/formula}}
{{formula}}E''(z)=-100{{/formula}}
Notwendige Bedingung: {{formula}}E'(z)=0{{/formula}}:
{{formula}}
\begin{align*}
&\: -100z+400&=0\\
\Leftrightarrow &\: z&=4
\end{align*}
{{/formula}}
Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt
{{formula}}E''(4)=-100<0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
Es ist
{{formula}}E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300{{/formula}}.
An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;30]{{/formula}} erhält man
{{formula}}E(0)=33000{{/formula}} und {{formula}}E(30)=0{{/formula}}.
Damit liegt bei {{formula}}z=4{{/formula}} ein globales Maximum vor.
Einsetzen von {{formula}}z=4{{/formula}} in die NB:
{{formula}}x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}{{/formula}}
{{formula}}p=30-4 = 26 \text{€}{{/formula}}.
Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.\)