Lösung Lampen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 11:21

Die Hauptbedingung lautet
$E = x \cdot p$
mit $x= \text{Menge}$ und $p=\text{Preis}$

Die Nebenbedingungen lauten:
x=1100+50z
p= 30-z
Dabei ist die Preissenkung in €.

Damit ist die Zielfunktion gegeben durch

E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000

mit den Ableitungen
E'(z)=-100z+400
E''(z)=-100

Notwendige Bedingung: E'(z)=0 :

$\begin{align*} -100z+400&=0\\ \Leftrightarrow z&=4 \end{align*}$

Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt
$E''(4)=-100<0 \rightarrow$ Maximum

Es ist $E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300$ .

An den Randwerten des Definitionsbereiches D=[0;30] erhält man E(0)=33000 und E(30)=0 .

Damit liegt bei z=4 ein globales Maximum vor.

Einsetzen von z=4 in die NB:
$x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}$
p=30-4 = 26 €.

Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.

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