Lösung Lampen

Version 5.1 von akukin am 2024/01/18 11:17

*Aktuelle Menge: 1100 Stück
*Aktueller Preis: 30€
*Preisänderung: -1€ $\rightarrow$ + 50St

Die Hauptbedingung lautet
$E = x \cdot p$ mit = Menge und = Preis

Die Nebenbedingungen lauten:
x=1100+50z
p= 30-z
Dabei ist $z{{formula}} die Preissenkung in €. Damit ist die **Zielfunktion** gegeben durch {{formula}}E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000{{/formula}} mit den Ableitungen {{formula}}E'(z)=-100z+400{{/formula}} {{formula}}E''(z)=-100{{/formula}} Notwendige Bedingung: {{formula}}E'(z)=0{{/formula}}: {{formula}} \begin{align*} &\: -100z+400&=0\\ \Leftrightarrow &\: z&=4 \end{align*} {{/formula}} Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt {{formula}}E''(4)=-100<0 \rightarrow{{/formula}} Maximum Es ist {{formula}}E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300{{/formula}}. An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;30]{{/formula}} erhält man {{formula}}E(0)=33000{{/formula}} und {{formula}}E(30)=0{{/formula}}. Damit liegt bei {{formula}}z=4{{/formula}} ein globales Maximum vor. Einsetzen von {{formula}}z=4{{/formula}} in die NB: {{formula}}x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}{{/formula}} {{formula}}p=30-4 = 26 \text{€}{{/formula}}. Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.$