Lösung Lampen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 10:21

Die Hauptbedingung lautet
\( E = x \cdot p \)
mit \(x= \text{Menge}\) und \(p=\text{Preis}\)

Die Nebenbedingungen lauten:
\(x=1100+50z\)
\(p= 30-z\)
Dabei ist \(z\) die Preissenkung in €.

Damit ist die Zielfunktion gegeben durch

\[E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000\]

mit den Ableitungen
\(E'(z)=-100z+400\)
\(E''(z)=-100\)

Notwendige Bedingung: \(E'(z)=0\):

\[\begin{align*} -100z+400&=0\\ \Leftrightarrow z&=4 \end{align*}\]

Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt
\(E''(4)=-100<0 \rightarrow\) Maximum

Es ist \(E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300\).

An den Randwerten des Definitionsbereiches \(D=[0;30]\) erhält man \(E(0)=33000\) und \(E(30)=0\).

Damit liegt bei \(z=4\) ein globales Maximum vor.

Einsetzen von \(z=4\) in die NB:
\(x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}\)
\(p=30-4 = 26\)€.

Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.