Lösung Ebenenschar

Version 2.1 von akukin am 2024/09/27 11:09

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont

$\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2$

Erläuterung

Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)$
Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
$\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2$
Für a=-2

stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont

$\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right)$ ergibt k=0,5

Das Gleichungssystem

$\begin{align*} &I: \ 2a &=3 \\ &II:\ a-2 &=0,5 \end{align*}$

besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.

Erläuterung

Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
$\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right)$
Anhand der zweiten Zeile (der x_2

-Koordinaten) erkennt man, das $k=\frac{1}{2}$ sein muss. Setzt man diesen Wert für

in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem

$\begin{align*} &I: \ 2a &=3 \\ &II:\ a-2 &=\frac{1}{2} \end{align*}$

Dieses LGS besitzt keine Lösung für

. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.