BPE 16 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/27 19:15

Das Gleichungssystem

\begin{align*}
\text{I} &\quad -x + y   =&-3 \\
\text{II} &\quad 2x - 2y =&6
\end{align*}

mit  x,y \in \mathbb{R}  hat unendlich viele Lösungen.

  1. Stelle diese Lösungen in einem Koordinatensystem grafisch dar. Gib die Lösung mit y=1 an.

Im gegebenen Gleichungssystem wird die Gleichung II durch die folgende Gleichung mit a,b \in \mathbb{R}  ersetzt:

\text{II}^* \quad a \cdot x - 3y = b

2. Gib einen Wert von a und einen Wert von b an, für die das aus \text{I} und \text{II}^* bestehende Gleichungssystem keine Lösung hat. Begründe deine Angabe.

AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Gegeben sind die Punkte A(5|-5|12), B(5|5|12) und C(-5|5|12).

  1. Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
  2. Begründe, dass A, B und C Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunkts D dieses Quadrates an.

Doppelpyramide.pngIm Folgenden wird die rechts abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden ABCDS
und ABCDTsind gleich hoch. Der Punkt T liegt im Koordinatenursprung, der Punkt Sebenfalls auf der z-Achse.

Die Seitenfläche BCT liegt in einer Ebene E.

3. Bestimme eine Gleichung von Ein Koordinatenform. (zur Kontrolle: 12y-5z = 0)
4. Bestimme die Größe des Winkels, den die Seitenfläche BCT mit der Fläche ABCD einschließt.

E gehört zur Schar der Ebenen E_k: ky-5z = 5k - 60 mit k \in \mathbb{R}.

5. Alle Ebenen der Schar schneiden sich in einer Gerade. Weise nach, dass die Kante \overline{BC} auf dieser Gerade liegt.
6. Ermittle diejenigen Werte von k, für die E_k mit der Seitenfläche ADS mindestens einen Punkt gemeinsam hat.
7. Die Seitenfläche ADT liegt in der Ebene F. Gib einen Normalenvektor von F an und begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von A und D zu verwenden. Bestimme denjenigen Wert von k, für den E_k senkrecht zu F steht.
8. Die Doppelpyramide wird so um die x-Achse gedreht, dass die bisher mit BCT bezeichnete Seitenfläche in der xy-Ebene liegt und der bisher mit S bezeichnete Punkt eine positive y-Koordinate hat. Bestimme diese y-Koordinate und veranschauliche dein Vorgehen durch eine Skizze.

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

gleichschenkligesdreieckabb1.png
Für k \in \mathbb{R}  mit 0<k\leq 6 werden die Pyramiden ABCD_k  mit A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0) und  D_k(0|0|k) betrachtet (vgl. Abbildung)
 

  1. Begründe, dass das Dreieck BCD_k gleichschenklig ist.
  2. Der Mittelpunkt der Strecke \overline{BC} ist M(2|2|0).
    Begründe, dass |\overline{MD_k}|=\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| die Länge einer Höhe des Dreiecks BCD_k ist.
    Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks BCD_k.

Für jeden Wert von k liegt die Seitenfläche BCD_k in der Ebene L_k.

3. Bestimme eine Gleichung von L_k in Koordinatenform. (zur Kontrolle: x_1+x_2+\frac{4}{k}\cdot x_3 =4)
 
4. Ermittle denjenigen Wert von k, für den die Größe des Winkels, unter dem die x3-Achse die Ebene L_k schneidet, 30° beträgt.

  
gleichschenkligesdreieckabb2.png
Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte A und Q(1|1|3) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für k=6 enthält die Seitenfläche BCD_k der Pyramide den Eckpunkt Q des Quaders. Für kleinere Werte von k schneidet die Seitenfläche BCD_k den Quader in einem Vieleck.
 
5. Für einen Wert von k verläuft die Seitenfläche BCD_k durch die Eckpunkte P und R des Quaders. Bestimme diesen Wert von  k   (zur Kontrolle: k=4)
 
6.Gib in Abhängigkeit von k die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche BCD_k den Quader schneidet.
 
 
 
 
7. Nun wird die Pyramide ABCD_6 , d. h. diejenige für k=6, betrachtet.gleichschenkligesdreieckabb3.PNG Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der x1x2-Ebene, haben den Eckpunkt A gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe h der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 0<h<6. Für jeden Wert von hliegt der Eckpunkt Q_h in der Seitenfläche BCD_6 der Pyramide. Ermittle die Koordinaten des Punkts Q_h.

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Gegeben sind die Punkte A\left(3\left|5\right|5\right) und B\left(1\left|1\right|1\right) sowie die Geraden g und h, die sich in B schneiden.
Die Gerade g hat den Richtungsvektor \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), die Gerade h den Richtungsvektor \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).

  1. Weise nach, dass A auf g liegt.
  2. Bestimme die Koordinaten zweier Punkte C und D so, dass C auf h liegt und das Viereck ABCD eine Raute ist.
AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Gegeben ist die Gerade g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) mit \lambda\in\mathbb{R}

  1. Zeige, dass g in der Ebene mit der Gleichung x+y+z=2 liegt.
  2. Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden h_a:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array}\right) mit \mu,a\in\mathbb{R}. Weise nach, dass g und h_a für jeden Wert von a windschief sind.
AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Betrachtet wird ein Dreieck ABC mit A\left(0\left|0\right|0\right) und B\left(3\left|5\right|-4\right). Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

  • Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
  • \overline{AB} ist eine Kathete des Dreiecks.
  • Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der x1x3-Ebene.

Ermittle die Koordinaten eines Punkts, der für C in Frage kommt.

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Quelle   IQBLizenz   k.A.

Gegeben sind die Geraden g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) und h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right);  r,s\in\mathbb{R}.

  1. Begründe, dass g und h nicht identisch sind.
  2. Die Gerade g soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade h abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
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Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000000
II110110
III220222
Bearbeitungszeit gesamt: 0 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst