Wiki-Quellcode von Lösung Ebenenschar

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2024/10/01 15:25

version	line-number	content
2.1	1	=== Teilaufgabe 1 ===
	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	3	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
	4	{{/detail}}
	5
2.3	6
2.2	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
2.1	8	Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
	9	<br>
1.1	10	{{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right){{/formula}}
2.1	11	<br>
1.1	12	Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
2.1	13	<br>
1.1	14	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
2.1	15	<br>
1.1	16	Für {{formula}}a=-2{{/formula}} stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.
2.1	17	{{/detail}}
	18
	19	=== Teilaufgabe 2 ===
	20	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	21	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} ergibt {{formula}}k=0,5{{/formula}}
	22	<br>
	23	<br>
	24	Das Gleichungssystem
	25	<br>
	26
	27	{{formula}}
	28	\begin{align*}
	29	&I: \ 2a &=3 \\
	30	&II:\ a-2 &=0,5
	31	\end{align*}
	32	{{/formula}}
	33
	34	besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.
	35	{{/detail}}
	36
2.3	37
2.2	38	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
2.1	39	Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
	40	<br>
1.1	41	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}}
2.1	42	<br>
1.1	43	Anhand der zweiten Zeile (der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten) erkennt man, das {{formula}}k=\frac{1}{2}{{/formula}} sein muss.
2.1	44	Setzt man diesen Wert für {{formula}}k{{/formula}} in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
	45	<br>
	46	<br>
1.1	47
	48	{{formula}}
	49	\begin{align*}
	50	&I: \ 2a &=3 \\
	51	&II:\ a-2 &=\frac{1}{2}
	52	\end{align*}
	53	{{/formula}}
	54
	55	Dieses LGS besitzt keine Lösung für {{formula}}a{{/formula}}. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.
2.1	56	{{/detail}}