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Wiki-Quellcode von Lösung Ebenenschar

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/01 17:25
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
9 <br>
10 {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right){{/formula}}
11 <br>
12 Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
13 <br>
14 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2{{/formula}}
15 <br>
16 Für {{formula}}a=-2{{/formula}} stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.
17 {{/detail}}
18
19 === Teilaufgabe 2 ===
20 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
21 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} ergibt {{formula}}k=0,5{{/formula}}
22 <br>
23 <br>
24 Das Gleichungssystem
25 <br>
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27 {{formula}}
28 \begin{align*}
29 &I: \ 2a &=3 \\
30 &II:\ a-2 &=0,5
31 \end{align*}
32 {{/formula}}
33
34 besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.
35 {{/detail}}
36
37
38 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
39 Der Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
40 <br>
41 {{formula}}\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}}
42 <br>
43 Anhand der zweiten Zeile (der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten) erkennt man, das {{formula}}k=\frac{1}{2}{{/formula}} sein muss.
44 Setzt man diesen Wert für {{formula}}k{{/formula}} in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
45 <br>
46 <br>
47
48 {{formula}}
49 \begin{align*}
50 &I: \ 2a &=3 \\
51 &II:\ a-2 &=\frac{1}{2}
52 \end{align*}
53 {{/formula}}
54
55 Dieses LGS besitzt keine Lösung für {{formula}}a{{/formula}}. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.
56 {{/detail}}