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Lösung Geraden zeichnen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/01 15:25
Erwartungshorizont eingezeichneteGeraden.png
\(\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}\)
Erläuterung der Lösung Betrachtet werden Geraden \(g,g^\ast\) und \(h\), für die gilt:
  • \(g\) verläuft durch \(A\), \(g^\ast\) durch \(B\) und \(h\) durch \(P\).
  • \(g\) und \(g^\ast\) schneiden sich in \(P\).
  • Wird \(g\) an \(h\) gespiegelt, so entsteht \(g^\ast\).
    eingezeichneteGeraden.png Da sich \(g\) und \(g^\ast\) in \(P\) schneiden und jeweils ein weiterer Punkt gegeben ist (\(A\) liegt auf \(g\), \(B\) liegt auf \(g^\ast\)), können diese beiden Geraden sofort eingezeichnet werden.
    Da \(h\) die Gerade sein soll, an der \(g\) gespiegelt \(g^\ast\) ergibt, muss \(h\) eine Winkelhalbierende von \(g\) und \(g^\ast\) sein. (Die andere, um 90° gedrehte Winkelhalbierende wäre auch möglich.)

    Mit dem Spiegelpunkt \(B^\prime\), der entsteht, wenn \(B\) an \(h\) gespiegelt wird, ergeben \(B,P,B^\prime\) und ein weiterer Punkt auf \(h\) eine Raute, deren Diagonale auf \(h\) liegt. Addiert man die Vektoren \(\overrightarrow{PB}\) und \(\overrightarrow{PB^\prime}\), erhält man also einen Vektor, mit dem man von \(P\) entlang \(h\) zu einem weiteren Punkt auf \(h\) kommt. Geradenmitspiegelpunkt.png Obwohl \(B^\prime\) nicht zur Verfügung steht, kann \(\overrightarrow{PB^\prime}\) mit Hilfe von \(\overrightarrow{AP}\) ausgedrückt werden, denn beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung, haben jedoch unterschiedliche Längen (Beträge). Mit Hilfe der Beträge \(\left|\overrightarrow{AP}\right|\) und \(\left|\overrightarrow{PB}\right|\) kann \(\overrightarrow{AP}\) jedoch derart verkürzt werden, sodass \(\overrightarrow{PB^\prime}\) entsteht. Dazu wird \(\overrightarrow{AP}\) zuerst auf die Länge 1 skaliert, indem er durch seinen eigenen Betrag geteilt wird. Mit anderen Worten: Es wird der Einheitsvektor von \(\overrightarrow{AP}\) gebildet:
    \(\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\)
    Im Anschluss wird dieser Einheitsvektor mit der Länge von \(\overrightarrow{PB}\) multipliziert. (\(\overrightarrow{PB}\) und \(\overrightarrow{PB^\prime}\) haben ja denselben Betrag.)
    \(\frac{\overrightarrow{AP}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\left|\overrightarrow{PB}\right|\)
    Jetzt haben wir den gesuchten Verbindungsvektor, mit dem wir von \(P\) entlang \(h\) zu einem weiteren Punkt auf \(h\) kommen. Der dazugehörige Ortsvektor des weiteren Punktes auf \(h\) lautet:
    \(\overrightarrow{OB}+\frac{\left|\overrightarrow{PB}\right|}{\left|\overrightarrow{AP}\right|}\cdot\overrightarrow{AP}\)