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Lösung Oktaeder

Version 3.1 von akukin am 2024/09/27 10:48

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont Kantenlänge des Würfels: \left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{144}=12
Erläuterung Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke \overline{AC} der gesuchten Kantenlänge entspricht. A\left(1\left|2\right|1\right),C\left(-3\left|-6\right|9\right) \left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 9 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{144}=12
Also ist die Kantenlänge des Würfels 12.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Mittelpunkt M der Strecke \overline{AC}: M\left(-1\left|-2\right|5\right)
Normalenvektor von H: \ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \ \text{mit} \ \left|\vec{n}\right|=3
Damit ergeben sich die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte, die nicht in H liegen, zu \overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 0 \\ 9 \end{array}\right).
Erläuterung Wir gehen bis zum Mittelpunkt M des Quadrats ABCD, das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen \overline{AC}, und von dort aus in Richtung des Normalenvektors \vec{n} von H, da dieser senkrecht auf ABCD steht.
Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von M aus 6 Längeneinheiten in Richtung \vec{n} gehen.
Der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Gleichung der Ebene H in Koordinatenform: H:\ 2x_1+x_2+2x_3=6 \ \Rightarrow\ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)
Der Betrag von \vec{n} ergibt: \left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3
Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist und wir nur die Hälfte von M aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor 2\vec{n}, um von M zum gesuchten Punkt P_1 zu gelangen:

\begin{align} \overrightarrow{OP_1}&=\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+2\cdot\vec{n} \\ &=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ &=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ &= \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right) \end{align}

Einer der beiden gesuchten Punkte lautet also P_1\left(3\left|0\right|9\right).
Den anderen gesuchten Punkt (den unteren Punkt) P_2 erhält man, wenn man den doppelten Normalenvektor subtrahiert statt addiert:

\begin{align} \overrightarrow{OP_2}&=\overrightarrow{OM}-2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)-2\cdot\vec{n} \\ &=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ &=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ &= \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \end{align}

Der zweite Punkt lautet also P_2\left(-5\left|-4\right|1\right).

Hinweis: Es ist jedoch nur nach einem der beiden Punkte gefragt.