Teilaufgabe 1
Erwartungshorizont
Kantenlänge des Würfels: \(\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{144}=12\)Erläuterung der Lösung
Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke \(\overline{AC}\) der gesuchten Kantenlänge entspricht.\(A\left(1\left|2\right|1\right),C\left(-3\left|-6\right|9\right)\)
\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 9 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{144}=12\)
Also ist die Kantenlänge des Würfels \(12\).
Teilaufgabe 2
Erwartungshorizont
Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{AC}: M\left(-1\left|-2\right|5\right)\)Normalenvektor von \(H: \ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \ \text{mit} \ \left|\vec{n}\right|=3\)
Damit ergeben sich die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte, die nicht in \(H\) liegen, zu
\(\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 0 \\ 9 \end{array}\right)\).
Erläuterung der Lösung
Wir gehen bis zum Mittelpunkt \(M\) des Quadrats \(ABCD\), das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen \(\overline{AC}\), und von dort aus in Richtung des Normalenvektors \(\vec{n}\) von \(H\), da dieser senkrecht auf \(ABCD\) steht.Da die Kantenlänge des Würfels \(12\) ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von \(M\) aus \(6\) Längeneinheiten in Richtung \(\vec{n}\) gehen.
Der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Gleichung der Ebene \(H\) in Koordinatenform:
\(H:\ 2x_1+x_2+2x_3=6 \ \Rightarrow\ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\)
Der Betrag von \(\vec{n}\) ergibt: \(\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3\)
Da die Kantenlänge des Würfels \(12\) ist und wir nur die Hälfte von \(M\) aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor \(2\vec{n}\), um von \(M\) zum gesuchten Punkt \(P_1\) zu gelangen:
\[\begin{align}
\overrightarrow{OP_1}&=\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+2\cdot\vec{n} \\
&=\frac{1}{2}\cdot
\left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
&=\frac{1}{2}\cdot
\left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
&=
\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right)
\end{align}\]
Einer der beiden gesuchten Punkte lautet also \(P_1\left(3\left|0\right|9\right)\).
Den anderen gesuchten Punkt (den unteren Punkt) \(P_2\) erhält man, wenn man den doppelten Normalenvektor subtrahiert statt addiert:
\[\begin{align}
\overrightarrow{OP_2}&=\overrightarrow{OM}-2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)-2\cdot\vec{n} \\
&=\frac{1}{2}\cdot
\left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
&=\frac{1}{2}\cdot
\left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\
&=
\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)
\end{align}\]
Der zweite Punkt lautet also \(P_2\left(-5\left|-4\right|1\right)\).
Hinweis: Es ist jedoch nur nach einem der beiden Punkte gefragt.