BPE 16.1 Geraden und ihre Lage im Koordinatensystem

1  Zeichnen  (5 min)

Zeichne die Gerade \(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\) in ein räumliches Koordinatensystem. Zeichne auch die Spurpunkte mit ein.

2  Fehlende Koordinaten  (6 min)

Bestimme jeweils die fehlenden Koordindaten, sodass P auf der Geraden liegt.

1. \(P(3|\square|\square)\), \(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right)\)
2. \(P(5|\square|4)\), \(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 6 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} \square \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\)

3  Lage beurteilen  (k.A.)

Bestimme jeweils die besondere Lage im Koordinatensystem und die Spurpunkte der folgenden Geraden:

1. \(f: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\)
2. \(f: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\)
3. \(f: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\)
4. \(f: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\)

4  Drei Punkte  (4 min)

Gegeben sind die Punkte \(A\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\), \(B\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\) und \(C\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\). Prüfe, ob die drei Punkte auf einer gemeinsamen Gerade liegen.

5  Winkel gegeben  (k.A.)

Bestimme eine Gerade in Parameterform, die durch den Punkt \(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\) geht und die \(x_1x_2\)- Ebene im Winkel von \(30°\) schneidet.

6  Richtungsvektor unvollständig  (k.A.)

Gegeben ist die Gerade \(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+ \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ k \\ 2 \end{array}\right)\). Bestimme k so, dass der Winkel zwischen g und der \(x_1x_2\)- Ebene \(30°\) beträgt.

7  Geradenschar  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gegeben ist die Schar der Geraden \(g_k: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} k \\ -4k \\ k \end{array}\right)+ \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)\) mit \(\mu\in\mathbb{R}\) und \(k\in\mathbb{R}\).

1. Begründe, dass alle Geraden der Schar parallel zueinander sind.

2. Betrachtet wird das Quadrat mit folgenden Eigenschaften:

   • Die Punkte \(O\left(0\left|0\right|0\right)\) und \(P\left(11\left|4\right|5\right)\) sind Eckpunkte des Quadrats.
   • Zwei Seiten des Quadrats liegen auf Geraden der Schar.

   Weise nach, dass \(O\) und \(P\) keine benachbarten Eckpunkte dieses Quadrats sind.

Hinweis:
Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel:
Gegeben ist die Gerade \(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} k \\ -4k \\ k \end{array}\right)+ \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)\) mit \(\mu\in\mathbb{R}\) und \(k\in\mathbb{R}\). \(k\) ist hierbei eine feste reelle Zahl.

1. Begründe, dass die Richtung der Geraden bekannt ist, auch wenn die Zahl \(k\) noch nicht bestimmt wurde.

2. Betrachtet wird das Quadrat mit folgenden Eigenschaften:

   • Die Punkte \(O\left(0\left|0\right|0\right)\) und \(P\left(11\left|4\right|5\right)\) sind Eckpunkte des Quadrats.
   • Zwei Seiten des Quadrats liegen auf Geraden, die echt parallel zu \(g\) sind.

   Weise nach, dass \(O\) und \(P\) keine benachbarten Eckpunkte dieses Quadrats sind