\(g_1\) und \(g_2\):
Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:
\[\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\]Wir erhalten dabei das Gleichungssystem
\(\begin{align*} \text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\ \text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\ \text{III}:\ \ \ 1+s&=2 \end{align*}\)Aus Gleichung \(\text{III}\) folgt: \( 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1\).
Aus Gleichung \(\text{II}\): \(-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1\).
Einsetzen von \(s=1\) und \(t=-1\) in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: \(4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1\).Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von \(s=1\) und \(t=-1\) in eine der beiden Geradengleichungen:
\(\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1)\).