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Lösung Drei Geraden

Zuletzt geändert von akukin am 2026/05/13 15:07

  1. \(g_1\) und \(g_2\):
    Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvekotren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.

    Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zu einander sind oder sich schneiden:

    \[\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\]

    Wir erhalten dabei das Gleichungssystem
    \(\begin{align*} \text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\ \text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\ \text{III}:\ \ \ 1+s&=2 \end{align*}\)

    Aus Gleichung \(\text{III}\) folgt: \( 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1\).
    Aus Gleichung \(\text{II}\): \(-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1\).
    Einsetzen von \(s=1\) und \(t=-1\) in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: \(4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1\).

    Also schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von \(s=1\) und \(t=-1\) in eine der beiden Geradengleichungen (zum Beispiel in \(g_1\)):

    \(\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1)\).

  2. \(g_1\) und \(g_3\):
    Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\) sind Vielfache voneinander, da \((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\). Somit sind die Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear) und die Geraden parallel.

    Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich, um zu prüfen, ob die Geraden identisch sind oder echt parallel verlaufen:

    \[\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}\]

    Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
    \(\begin{align*} \text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\ \text{II}: \ -2+0s&=0\\ \text{III}:\qquad 1+s&=6-t \end{align*}\)

    Bereits aus Gleichung \(\text{II}\) ergibt sich der Widerspruch \(-2 = 0\).

    Da das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und die Richtungsvektoren kollinear sind, sind die Geraden \(g_1\) und \(g_3\) echt parallel.

  3. \(g_2\) und \(g_3\):
    Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Richtungsvektoren linear unabhängig (nicht kollinear) und daher die Geraden nicht parallel.

    Nun setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich und prüfen, ob die beiden Geraden windschief zueinander sind oder sich schneiden:

    \[\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\]

    Wir erhalten dabei das Gleichungssystem:
    \(\begin{align*} \text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\ \text{II}: \ 0+2s&=0\\ \text{III}:\ 2+0s&=6-t \end{align*}\)

    Aus Gleichung \(\text{II}\) folgt: \( 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0\).
    Aus Gleichung \(\text{III}\) folgt: \( 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4\).

    Einsetzen von \(s=0\) und \(t=4\) in die erste Gleichung:
    \(6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12\).

    Dies ist ein Widerspruch. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind \(g_2\) und \(g_3\) windschief zueinander.