BPE 16.3 Ebenen und Normalenvektoren

1  Normalenvektor  (4 min)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 7\end{pmatrix}\).
Berechne die Koordinaten des Vektors \(\vec{n}\), der senkrecht zu den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht.

2  Koordinatenform Äquivalenzumformung  (2 min) 𝕃

Wenn man bei der Ebenengleichung \(E: 2x_1-4x_2+6x_1=6\) beide Seiten durch zwei teilt:

Ist es dann noch die gleiche Ebene? Erläutere!

3  Koordinatenform zwei Spurpunkte  (2 min) 𝕋  𝕃

Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte (3|0|0) und (0|4|0). Stelle eine Ebenengleichung in Koordinatenform auf!

4  Aufstellen  (4 min)

Stelle jeweils eine Gleichung auf für eine Ebene, die ..

1. parallel ist zu x₁x₂- Ebene
2. parallel ist zur Ebene \(E: 2x_1-4x_2+6x_1=6\)

5  Ebene aus Geraden  (k.A.) 𝕃

Gegeben sind ..

1. zwei parallele Geraden
   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)

2. zwei sich schneidende Geraden
   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3. zwei windschiefe Geraden
   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Bestimme, soweit möglich, jeweils die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält.