Lösung Ebene aus Punkten

Wir stellen zunächst die Ebene durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Wir setzen \(D(4|0|1)\) in \(E\) ein:
\( \begin{align*} \text{I}: \ 1 + s + 2t &= 4 \\ \text{II}: 3 - s - 2t &= 0 \\ \text{III}: \ \quad 1 - 5s &= 1 \end{align*}\)

Aus \(\text{III}\) folgt: \(1 - 5s = 1 \ \Leftrightarrow s=0\).
Einsetzen von \(s = 0\) in zum Beispiel \(\text{II}\): \(3 - 0 - 2t = 0 \ \Leftrightarrow \ t = \frac{3}{2}\)

Einsetzen von \(s = 0\) und \(t = \frac{3}{2}\) in  \(\text{I}\) ergibt die wahre Aussage \(1 + 0 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 4\).

Das LGS ist somit eindeutig lösbar mit \(s = 0\) und \(t = \frac{3}{2}\).
Daraus folgt: \(D \in E\).
Die vier Punkte liegen somit auf einer gemeinsamen Ebene.

Alternative Lösung mit Hilfe des Spatprodukts: 
Wir berechnen die Vektoren:\(\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 3\\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt:
\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix} (-1) \cdot 0 - (-5) \cdot (-2) \\ (-5) \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Für das Spatprodukt gilt: \((\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix} -10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}=(-10)\cdot 3+(-10)\cdot (-3)+0\cdot 0=0\)

Somit sind die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\),\(\overrightarrow{AC}\) und \(\overrightarrow{AD}\) komplanar und die Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene.
(Drei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) sind genau dann linear abhängig (komplanar), wenn \((\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=0\) gilt.)