Lösung Ebene aus Punkten

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Wir stellen zunächst die Ebene durch die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} auf:

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{{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}

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Wir setzen {{formula}}D(4|0|1){{/formula}} in {{formula}}E{{/formula}} ein:

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\begin{align*}

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\text{I}: \ 1 + s + 2t &= 4 \\

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\text{II}: 3 - s - 2t &= 0 \\

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\text{III}: \ \quad 1 - 5s &= 1

\end{align*}

Aus {{formula}}\text{III}{{/formula}} folgt: {{formula}}1 - 5s = 1 \ \Leftrightarrow s=0{{/formula}}.

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Einsetzen von {{formula}}s = 0{{/formula}} in zum Beispiel {{formula}}\text{II}{{/formula}}: {{formula}}3 - 0 - 2t = 0 \ \Leftrightarrow \ t = \frac{3}{2}{{/formula}}

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Einsetzen von {{formula}}s = 0{{/formula}} und {{formula}}t = \frac{3}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{I}{{/formula}} ergibt die wahre Aussage {{formula}}1 + 0 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 4{{/formula}}.

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Das LGS ist somit eindeutig lösbar mit {{formula}}s = 0{{/formula}} und {{formula}}t = \frac{3}{2}{{/formula}}.

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Daraus folgt: {{formula}}D \in E{{/formula}}.

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Die vier Punkte liegen somit auf einer gemeinsamen Ebene.

**Alternative Lösung mit Hilfe des Spatprodukts: **

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Wir berechnen die Vektoren:{{formula}}\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 3\\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}

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Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt:

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{{formula}}\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix} (-1) \cdot 0 - (-5) \cdot (-2) \\ (-5) \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}

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Für das Spatprodukt gilt: {{formula}}(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix} -10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}=(-10)\cdot 3+(-10)\cdot (-3)+0\cdot 0=0{{/formula}}

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Somit sind die Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}},{{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} komplanar und die Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene.

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(Drei Vektoren {{formula}}\vec{a}{{/formula}}, {{formula}}\vec{b}{{/formula}} und {{formula}}\vec{c}{{/formula}} sind genau dann linear abhängig (komplanar), wenn {{formula}}(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=0{{/formula}} gilt.)

Wiki-Quellcode von Lösung Ebene aus Punkten