Lösung Eigenschaften

Zuletzt geändert von akukin am 2026/05/13 17:38

Die Ebene verläuft durch die Punkte \(P(1 \mid -3 \mid 5)\), \(S_1(a \mid 0 \mid 0)\), \(S_2(0 \mid 2a \mid 0)\) und \(S_3(0 \mid 0 \mid 2a)\), wobei \(a \neq 0\) noch unbekannt ist. Wir setzen:

\[E: \vec{x} = \overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{PS_1} + t \cdot \overrightarrow{PS_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} a - 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2a + 3 \\ -5 \end{pmatrix}\]

Da auch \(S_3\) in der Ebene enthalten sein muss, erhalten wir das (nichtlineare) Gleichungssystem:
\(\begin{align*} \text{I}: \ \ \qquad 1 + s(a - 1) - t &= 0 \\ \text{II}: \ -3 + 3s + t(2a + 3) &= 0 \\ \text{III}: \ \qquad \qquad 5 - 5s - 5t &= 2a \end{align*}\)

Wir lösen \(\text{I}\) nach \(t\) auf: \(t = 1 + as - s\).

Wir setzen \(t = 1 + as - s\) in \(\text{III}\) ein:
\(5 - 5s - 5(1 + as - s) = 2a \Rightarrow s = -\frac{2}{5} \Rightarrow t = \frac{7}{5} - \frac{2}{5}a\).

Wir setzen \(s = -\frac{2}{5}, t= \frac{7}{5} - \frac{2}{5}a\) in \(\text{II}\) ein:
\(-3 + 3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{7}{5} - \frac{2}{5}a\right)(2a + 3) = 0 \Rightarrow \frac{4}{5}a(2 - a) = 0 \Rightarrow a = 2\).

Somit ergibt sich für die Ebene \(E\):
\(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix}\)