BPE 16.5 Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden

1  Spiegeln  (6 min) 𝕃

Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung \(E: 2x_1-x_2+x_3=4\) und der Punkt \(P(0|0|0)\). Bestimme den Punkt P', der aus P durch Spiegelung an E entsteht.

2  Aussagen  (6 min)

1. Der Richtungsvektor einer Geraden g ist als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene E darstellbar. Erläutere, was sich daraus über die Lage von g in Bezug auf E sagen lässt.
2. Die Ebenen E und F teilen sich einen Spannvektor. Erläutere, was sich daraus über die Lage der beiden Ebenen zueinander sagen lässt.
3. Die Ebenen E und F teilen sich den Punkt P. Erläutere, was sich daraus über die Lage der beiden Ebenen zueinander sagen lässt.

3  Aus Schnittgerade  (4 min)

Gib die Gleichungen zweier Ebenen an, die sich in der Geraden g mit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) schneiden.

4  Schnittgerade  (15 min)

Es sind zwei Ebenen E und F gegeben durch \(E: 2x_1-3x_2+x_3=0\) und \(F: 3x_1+2x_2=-1\).

1. Bestimme die Schnittgerade g.
2. Welche besondere Lage haben die beiden Ebenen zueinander?

5  Lösungsmenge geometrisch  (12 min)

Ordne den folgenden linearen Gleichungssystemen jeweils die passende Abbildung zu. Begründe deine Entscheidung.
Visualisiere das verbliebene LGS analog.

1. \(\begin{aligned} x_1 + x_2 &= 1 \\ - 3x_2 &= 8 \\ -x_1 + 2x_2 + x_3 &= 4 \end{aligned}\)
2. \(\begin{aligned} 3x_1 - 2x_2 + x_3 &= 7 \\ -6x_1 + 4x_2 - 2x_3 &= 3 \\ 15x_1 - 10x_2 + 5x_3 &= 5 \end{aligned}\)
3. \(\begin{aligned} 2x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 2 \\ -2x_1 - 6x_2 + 2x_3 &= 0 \\ 2x_1 + 2x_2 &= 1 \end{aligned}\)
4. \(\begin{aligned} x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 5 \\ -2x_1 - 6x_2 + 4x_3 &= 1 \\ 2x_1 + x_3 &= 3 \end{aligned}\)

6  Schnittpunkt Ebene Gerade  (15 min) 𝕃

Gegeben sind die Ebene \(E: x_1 + x_2 + 2x_3 = 4\) und

die Gerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb{R}\).

1. Zeichne die Schnittgerade von \(E\) mit der \(x_2x_3\)-Ebene in ein Koordinatensystem ein.
2. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes von \(E\) und \(g\).

7  Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene  (15 min) 𝕃

Betrachtet werden die Ebene \( E: x_1 - x_2 + x_3 - 3 = 0 \) und für \( a \in \mathbb{R} \) die Geraden
\( g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{mit } \lambda \in \mathbb{R}. \)

1. Bestimme denjenigen Wert von \( a \), für den die Gerade \( g_a \) senkrecht zu \( E \) steht.
2. Untersuche, ob es einen Wert von \( a \) gibt, für den die Gerade \( g_a \) in \( E \) liegt.