Lösung Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Damit die Gerade \( g_a \) senkrecht auf der Ebene \( E \) steht, muss ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) der Ebene sein: 

Dadurch ergibt sich folgendes LGS:
\(\begin{align*} \text{I:} \qquad 2 &= \mu \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \mu = 2 \\ \text{II:} \ 1+a &= \mu \cdot (-1) \\ \text{III:} \qquad 2 &= \mu \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \mu = 2 \end{align*}\)

Setzt man \( \mu = 2 \) in die Gleichung \(\text{II}\) ein, so ergibt sich \(1 + a = 2 \cdot (-1) \Leftrightarrow a = -3\).

Somit steht die Gerade \( g_{-3} \) für \( a = -3 \) senkrecht zu \( E \).

Damit eine Gerade vollständig in einer Ebene liegt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

• Der Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden muss in der Ebene liegen.
• Der Richtungsvektor der Geraden muss orthogonal (senkrecht) zum Normalenvektor der Ebene stehen (das Skalarprodukt muss null sein).

Wir setzen den Aufpunkt \( (1|-2|0) \) in die Ebenengleichung ein:
\(\begin{align*} 1 - (-2) + 0 - 3 &= 0 \\ 1 + 2 - 3 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align*}\)
Da wir eine ware Aussage erhalten haben, gilt somit \((1|-2|0)\in E \).

Da das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene null ergeben muss, erhalten wir folgende Gleichung:
\(\begin{align*} & \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \\ \Leftrightarrow \quad & 2-1-a+2=0 \\ \end{align*}\)

Da die Gleichung \( 2-1-a+2=0\) lösbar ist, gibt es einen Wert für \( a \) (\(a=3\)), für den die Gerade \(g_a\) in \(E\) liegt.