Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/25 18:33
Verstecke letzte Bearbeiter
Anna Kukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((Damit die Gerade {{formula}} g_a {{/formula}} senkrecht auf der Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht, muss ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors {{formula}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} der Ebene sein:
3
4 {{formula}}
5 \begin{align*}
6 \begin{pmatrix} 2 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} &= \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
7 \end{align*}
8 {{/formula}}
9
10 Dadurch ergibt sich folgendes LGS:
11 {{formula}}
12 \begin{align*}
13 \text{I:} \qquad 2 &= \mu \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \mu = 2 \\
14 \text{II:} \ 1+a &= \mu \cdot (-1) \\
15 \text{III:} \qquad 2 &= \mu \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \mu = 2
16 \end{align*}
17 {{/formula}}
18
19 Setzt man {{formula}} \mu = 2 {{/formula}} in die Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein, so ergibt sich {{formula}}1 + a = 2 \cdot (-1) \Leftrightarrow a = -3{{/formula}}.
20
21 Somit steht die Gerade {{formula}} g_{-3} {{/formula}} für {{formula}} a = -3 {{/formula}} senkrecht zu {{formula}} E {{/formula}}.)))
22 1. (((Damit eine Gerade vollständig in einer Ebene liegt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
23 * Der Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden muss in der Ebene liegen.
24 * Der Richtungsvektor der Geraden muss orthogonal (senkrecht) zum Normalenvektor der Ebene stehen (das Skalarprodukt muss null sein).
25
26
Anna Kukin 2.1 27
Anna Kukin 1.1 28 Wir setzen den Aufpunkt {{formula}} (1|-2|0) {{/formula}} in die Ebenengleichung ein:
29 {{formula}}
30 \begin{align*}
31 1 - (-2) + 0 - 3 &= 0 \\
32 1 + 2 - 3 &= 0 \\
33 0 &= 0
34 \end{align*}
35 {{/formula}}
36 Da wir eine ware Aussage erhalten haben, gilt somit {{formula}}(1|-2|0)\in E {{/formula}}.
37
38
39 Da das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene null ergeben muss, erhalten wir folgende Gleichung:
40 {{formula}}
41 \begin{align*}
42 & \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \\
43 \Leftrightarrow \quad & 2-1-a+2=0 \\
44 \end{align*}
45 {{/formula}}
46
47
48 Da die Gleichung {{formula}} 2-1-a+2=0{{/formula}} lösbar ist, gibt es einen Wert für {{formula}} a {{/formula}} ({{formula}}a=3{{/formula}}), für den die Gerade {{formula}}g_a{{/formula}} in {{formula}}E{{/formula}} liegt.)))