BPE 16.6 Abstände und Volumina

1  Abstand Punkt Punkt  (10 min) 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(P(1|3|5)\) und \(Q(1|5|3)\).

1. Bestimme den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) und den Abstand \(d(P;Q)\).

2. Zeichne die Punkte \(P\), \(Q\) sowie drei weitere Punkte ein, die von \(P\) denselben Abstand haben wie \(Q\).

   Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.

3. Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von \(P\) denselben Abstand wie \(Q\) haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von \(P\) doppelt so groß ist wie \(d(P;Q)\).

4. Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt \(K\) mit \(\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}\) gilt \(d(P;K)=r\cdot d(P;Q)\).“

   Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall \(r=-2\): Bestimme \(K\), den Vektor \(\overrightarrow{PK}\) und den Abstand \(d(P;K)\).

2  Abstand Punkt Koordinatenebene  (8 min)

Gegeben ist der Punkt \(P(1|3|4)\) und die Koordinatenebene \(Z:\ z=0\).

1. Bestimme den Abstand \(d(P;Z)\).

2. Zeichne den Punkt \(P\) sowie drei weitere Punkte ein, die von \(Z\) denselben Abstand haben wie \(P\).

   Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.

3. Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von \(Z\) denselben Abstand wie \(P\) haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von \(Z\) doppelt so groß ist.

3  Lotfußpunkt auf Gerade  (10 min)

Gegeben ist der Punkt \(P(1|3|5)\) und die Gerade

1. Gib einen allgemeinen Punkt \(G_r\) der Geraden \(g\) in Koordinaten an.

2. Bestimme den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PG_r}\).

3. Berechne dasjenige \(r_0\), für das der Vektor \(\overrightarrow{PG_{r_0}}\) senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden \(g\) steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: \(d(P;G_{r_0})=d(P;g)\).

4  Abstand Punkt Gerade  (10 min)

Gegeben ist der Punkt \(P(1|3|5)\) und die Gerade

1. Bestimme den Abstand \(d(P;g)\).

2. Zeichne den Punkt \(P\), die Gerade \(g\) sowie drei weitere Punkte ein, die von \(g\) denselben Abstand haben wie \(P\).

   Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.

3. Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von \(g\) denselben Abstand wie \(P\) haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von \(g\) doppelt so groß ist.

5  Abstand als Minimalproblem  (15 min)

Die Punkte \(A\) und \(B\) legen eine Gerade \(g(A;B)\) fest, auf welcher der Punkt \(C\) nicht liegt. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) legen eine Ebene \(E(A;B;C)\) fest, in welcher der Punkt \(P\) nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände

1. Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: \(\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)\) und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.

2. Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form \(d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}\). Gib jeweils die passende Menge \(M\) an.

3. Untersuche die Gleichheitsfälle:

   • Wann gilt \(d(P;A)=d(P;g(A;B))\)?
   • Wann gilt \(d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C))\)?

   Beschreibe die jeweilige Lage von \(P\) geometrisch.

4. Beschreibe für die drei Fälle den Punkt \(F\in M\), der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.

5. Erläutere folgende Aussage geometrisch:

   \[M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).\]

6  Abstandsproblem Drohne  (20 min)

Eine Drohne befindet sich im Punkt \(P(6\mid 4\mid 5)\).

Eine Landefläche liegt in der Ebene \(E: z=0\). Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade \(g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\) beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist \(A(2\mid 1\mid 0)\).

1. Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene \(E\) als Grundfläche, die Gerade \(g\) in der Ebene sowie die Punkte \(P\) und \(A\). Markiere in deiner Skizze:

   • die Verbindung \(PA\),
   • den kürzesten Abstand von \(P\) zur Ebene \(E\),
   • eine Verbindung von \(P\) zur Geraden \(g\).

2. Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche \(E\). Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts \(F_E\) an.

3. Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie \(g\).
   Berechne dazu einen geeigneten Punkt \(F_g \in g\), der den Abstand realisiert.

4. Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt \(A\).

5. Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.

   Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.

6. Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie \(g\) möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.

   Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.

7  Problemlösen durch Rückführung  (15 min) 𝕃

Hinweis: Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.

Gegeben seien zwei windschiefe Geraden \(g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1\) und \(g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2\).

1. Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die \(g_1\) enthält und parallel zu \(g_2\) ist. Zeige, dass die Ebene \(E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2\) die Gerade \(g_1\) enthält.

2. Zeige, dass \(g_2\) parallel zur Ebene \(E\) verläuft.

3. Erkläre geometrisch, weshalb \(d(g_1;g_2)=d(g_2;E)\) gilt.

4. Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden \(g_2\) zur Ebene \(E\) durch den Abstand eines beliebigen Punktes \(P_2\in g_2\) zur Ebene \(E\) bestimmt werden kann: \(d(g_2;E)=d(P_2;E)\).

5. Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt \(d(g_1;g_2)=d(P_2;E)\) für \(E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2\). Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.

8  Sonnenegel  (25 min)

Die Punkte \(A(2|2|4)\), \(B(3|2|2)\) und \(C(4|5|3)\) sind die Eckpunkte eines über dem Boden (\(x_1x_2\)-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1\), beschreiben lässt.
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

1. Geben Sie die Länge des Pfosten an.

2. Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung \(2x_1-x_2+x_3=6\) liegt.
   Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.

3. Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.

9  Dreiecksflächen  (15 min) 𝕃

Die Ebene E ist gegeben durch \(E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4\).
Die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.  

10  Spiegelung an einem Punkt  (12 min)

Gegeben sind die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) sowie ein Punkt \(S\).

1. Untersuche die Spiegelung der folgenden Objekte an \(S\):

   • den Punkt \(A\),
   • die Gerade \(g=\overline{AB}\),
   • die Ebene \(E=\text{E}(A;B;C)\).

   Fertige eine Skizze an und bezeichne die Spiegelbilder mit \(A'\), \(g'\) und \(E'\).

   Beschreibe die Lage der Spiegelbilder.

2. Stelle die Spiegelung algebraisch dar:

   • Bestimme den Punkt \(A'\).
   • Stelle die Gerade \(g'\) in Parameterform dar.
   • Stelle die Ebene \(E'\) in Parameterform dar und gib zusätzlich eine Gleichung in Koordinatenform an.