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Lösung Problemlösen durch Rückführung

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/28 16:25

  1. Für Punkte der Geraden \(g_1\) gilt \(\vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1\). In der Ebene \(E:\vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2\) erhält man für \(t=0\) genau \(\vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1\). Also liegt jeder Punkt von \(g_1\) in \(E\); damit gilt \(g_1\subset E\).

  2. Die Gerade \(g_2\) hat den Richtungsvektor \(\vec{u}_2\). Dieser ist zugleich ein Spannvektor der Ebene \(E\). Daher verläuft \(g_2\) parallel zu \(E\). Da die Geraden windschief sind, liegt \(g_2\) nicht in \(E\).

  3. Die Ebene \(E\) enthält die Gerade \(g_1\) und verläuft parallel zur Geraden \(g_2\). Jeder Verbindungsvektor von \(g_2\) zu \(g_1\) kann daher als Verbindungsvektor von \(g_2\) zur Ebene \(E\) verstanden werden. Der kürzeste Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden entspricht somit dem Abstand der Geraden \(g_2\) von der Ebene \(E\): \(d(g_1;g_2)=d(g_2;E)\).

  4. Da \(g_2\) parallel zur Ebene \(E\) verläuft, hat jeder Punkt der Geraden \(g_2\) denselben Abstand von \(E\). Deshalb genügt ein beliebiger Punkt \(P_2\in g_2\), also insbesondere der Stützpunkt mit Ortsvektor \(\vec{p}_2\). Somit gilt \(d(g_2;E)=d(P_2;E)\).

  5. Zusammengefasst wird das neue Abstandsproblem zurückgeführt auf ein bekanntes Punkt-Ebene-Problem: \(d(g_1;g_2)=d(P_2;E)\) mit \(E:\vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2\). Die verwendete Problemlösestrategie besteht darin, ein neues Problem durch eine geeignete Erweiterung eines Objekts auf ein bereits gelöstes Problem zurückzuführen.