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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/06/14 20:12
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Einsetzen von Punkt {{formula}}P{{/formula}} in die Ebenengleichung (Punktprobe) ergibt {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}.
9 <br>
10 Somit liegt {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}}.
11 {{/detail}}
12
13 === Teilaufgabe b) ===
14 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
15 Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zu {{formula}}E{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}} verläuft:
16 <br>
17 {{formula}}\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
18 <p></p>
19 Mit {{formula}}-1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda)=0 \ \Leftrightarrow \ 10\lambda=-20 \ \Leftrightarrow \lambda =-2{{/formula}} ergibt sich für den Ortsvektor des
20 gesuchten Punkts {{formula}}\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2\end{pmatrix}{{/formula}}.
21 {{/detail}}
22
23
24 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
25 Wir spiegeln den Punkt {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe des Lotfußpunktverfahrens. Dazu konstruieren wir zunächst eine Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft und durch den Punkt {{formula}}P{{/formula}} geht (Lotgerade).
26 <br>
27 Da der Normelenvektor der Ebene senkrecht zu der Ebene steht, verwenden wir diesen als Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}}. Da die Gerade zudem durch den Punkt {{formula}}P{{/formula}} geht, verwenden wir diesen als Stützpunkt. Die Geradengleichung lautet somit:
28 <br>
29 {{formula}}g: \ \vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
30 <p></p>
31 Nun setzen wir einen allgemeinen Geradenpunkt {{formula}}F_\lambda(-1+\lambda | 7+3\lambda | 2){{/formula}} in die Ebenengleichung ein und erhalten für {{formula}}\lambda{{/formula}}:
32 <br>
33 {{formula}}
34 \begin{align*}
35 -1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda) &=0 \\
36 -1+\lambda + 21 + 9\lambda &= 0 \\
37 \Leftrightarrow \ 10\lambda &=-20 \quad \mid :10 \\
38 \Leftrightarrow \lambda &=-2
39 \end{align*}
40 {{/formula}}
41 <br>
42 Somit erhalten wir den Lotfußpunkt {{formula}}F_\lambda(-3| 1 | 2){{/formula}}.
43 <p></p>
44 Dann gilt: {{formula}}\overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow P'(-5 \mid -5 \mid 2){{/formula}}
45 {{/detail}}