Lösung Stichprobengröße und Länge des Konfidenzintervalls

Zunächst bestimmen wir die relative Häufigkeit \(h\) der defekten Bauteile: \(h = \frac{X}{n}=\frac{32}{400} = 0{,}08\).

Das passende \(c\) für das 95%-Konfidenzintervall entnehmen wir aus der Merkhilfe: \(c = 1{,}96\).
Die Länge des Konfidenzintervalls berechnen wir durch:
\(L = 2 \cdot c \cdot \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{n}}= 2 \cdot 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}08 \cdot 0{,}92}{400}}\approx 0{,}053\)
Alternativ können wir die obere und untere Grenze des Konfidenzintervalls bestimmen und deren Differenz berechnen, um die Länge des Konfidenzintervalls zu erhalten.

Wir ersetzen die Stichprobengröße \(n\) durch die vierfache Menge \(4n\). Es ergibt sich dadurch für die neue Länge des Konfidenzintervalls durch teilweises Wurzelziehen:
\(L_{neu} = 2 \cdot c \cdot \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{4n}}=2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{n}}=\frac{1}{2} \cdot L_{alt}\)

Somit hat die Qualitätsmanagerin recht und die Länge halbiert sich bei Vervierfachung der Stichprobengröße.