Lösung Stichprobengröße und Länge des Konfidenzintervalls

Zunächst bestimmen wir die relative Häufigkeit \(h\) der defekten Bauteile: \(h = \frac{X}{n}=\frac{32}{400} = 0{,}08\).

Das passende \(c\) für das 95%-Konfidenzintervall entnehmen wir aus der Merkhilfe: \(c = 1{,}96\).
Die Länge des Konfidenzintervalls berechnen wir durch:
\(L = 2 \cdot c \cdot \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{n}}= 2 \cdot 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}08 \cdot (1-0{,}08)}{400}}\approx 0{,}0532\)

Alternativ können wir die obere und untere Grenze des Konfidenzintervalls bestimmen und deren Differenz berechnen, um die Länge des Konfidenzintervalls zu erhalten:
Untere Grenze: \( h - c \cdot \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{n}} = 0{,}08 - 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}08 \cdot (1-0{,}08)}{400}} \approx 0{,}0534\)
Obere Grenze: \(h + c \cdot \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{n}} = 0{,}08 + 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}08 \cdot (1-0{,}08)}{400}} \approx 0{,}1066\)
\(L\approx 0{,}1066-0{,}0534= 0{,}0532\)

Wir ersetzen die Stichprobengröße \(n\) durch die vierfache Menge \(4n\). Es ergibt sich dadurch für die neue Länge des Konfidenzintervalls durch teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt{4}=2\)):
\(L_{neu} = 2 \cdot c \cdot \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{4n}}=2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h \cdot (1-h)}{n}}=\frac{1}{2} \cdot L_{alt}\)

Somit hat die Qualitätsmanagerin recht und die Länge halbiert sich bei Vervierfachung der Stichprobengröße.