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Version 42.1 von Hogir Gecer am 2025/12/12 15:08
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1 Ich kann stochastische Sachverhalte mittels Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln darstellen.
2 Ich kann in Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln enthaltenen Informationen interpretieren.
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4 Ich kann die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen und Ereignissen mit geeigneten Methoden berechnen.
5 Ich kann bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.
6 Ich kann Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen.
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8 Laplace-Formel, Gegenereigniss. 3-Mal-Mindestens-Aufgaben, Pfadrregeln, Additionssatz
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10 {{aufgabe id="Bedingungen vertauschen" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
11 In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingten Wahrhscheinlichkeiten in beide Richtungen.
12 (%class=abc%)
13 1. Formuliere in Worten, was P,,B,,(A) und P,,A,,(B) bedeutet.
14 1. Stelle Vermutungen auf, welche bedingte Wahrscheinlichkeit groß und welche klein ist.
15
16
17 1. P,,Person ist Vater,,(Person ist Mann) vs. P,,Person ist Mann,,(Person ist Vater)
18 1. P,,Schülerin besucht Mathe-LK,,(Schülerin hat gute Mathe-Note) vs. P,,Schüler hat gute Mathe-Note,,(Schülerin besucht Mathe-LK)
19 1. P,,es regnet,,(Straße ist nass) vs. P,,Straße ist nass,,(es regnet)
20 1. P,,Passagier fliegt heute,,(Passagier passiert Sicherheitskontrolle) vs. P,,Passagier passiert Sicherheitskontrolle,,(Passagier fliegt heute)
21 {{/aufgabe}}
22
23 {{aufgabe id="Bezugsgröße der Bedingung" afb="II" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
24 In den folgenden Situationen sind zwei Ereignisse A und B sowie die Bedingung M angegeben. Analysiere für jedes Paar die bedingte Wahrscheinlichkeit.
25 (%class=abc%)
26 1. Formuliere in Worten, was P,,M,,(A) und P,,M,,(B) bedeutet.
27 1. Stelle Vermutungen auf, welche bedingte Wahrscheinlichkeit größer ist.
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29
30 1. Ein Mann hört gerne klassische Musik. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass der Mann ein LKW-Fahrer ist oder dass der Mann ein Literaturprofessor ist.
31 1. Eine Person joggt regelmäßig. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Profisportler ist oder dass die Person 18-25 Jahre alt ist.
32 1. Eine Person isst sehr gerne Gemüse. Welche Wahrscheinlichkeit ist größer: dass die Person ein Fußballprofi ist oder dass die Person ein Rentner ist.
33 {{/aufgabe}}
34
35 {{aufgabe id="Kausalität verstehen" afb="III" kompetenzen="K2" quelle="Hogir Geçer" zeit="10" cc="by-sa"}}
36 Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung von 100 Arbeitnehmer*innen nach Geschlecht und Arbeitslohn.
37 (%class="border slim"%)
38 |=|>3.000€|≤3.000€|
39 |=Frauen|20|40|60
40 |=Männer|25|15|40
41 | |45|55|100
42 (%class=abc%)
43 1. Prüfe, ob Geschlecht und Arbeitslohn stochastisch unabhängig sind.
44 1. Formuliere in eigenen Worten, was das Ergebnis bedeutet.
45 1. Diskutiere, warum stochastische Abhängigkeit nicht automatisch Kausalität bedeutet.
46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Hölzchen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" zeit="10" cc="by-sa"}}
49 Tina hält in der Hand lange und kurze Hölzchen. Marc und Stefan ziehen zufällig abwechselnd je ein Hölzchen (ohne Zurücklegen). Sobald einer ein langes Hölzchen zieht, hat er gewonnen und darf mit Tina ausgehen.
50 (%class=abc%)
51 1. Tina hat 3 kurze und 1 langes Hölzchen. Marc beginnt. Stefan glaubt, er sei im Nachteil, weil er erst als zweiter zieht. Untersuche, ob Stefan recht hat.
52 1. Am nächsten Tag wird das Spiel wiederholt. Tina möchte nun Marc begünstigen. Hanna rät ihr: „Nimm 3 lange und 2 kurze Hölzchen und lass Marc anfangen.“ Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Tina mit Marc ausgeht.
53 {{/aufgabe}}
54
55 {{aufgabe id="Mogeln" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
56 In einer Urne sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Daniel bietet ein Spiel an: Dreimal zufällig ziehen mit Zurücklegen. Wer dreimal eine rote Kugel zieht, gewinnt. Larissa spielt, und es geht ehrlich zu. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
57
58 Als Timo spielt, mogelt Daniel: Wenn Timo eine rote Kugel zieht, legt er statt der roten eine blaue Kugel in die Urne zurück. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Larissa gewinnt.
59 {{/aufgabe}}
60
61 {{aufgabe id="Kugeln ziehen" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann, Frenzen" cc="by-sa"}}
62 In einer Urne sind 4 blaue, 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es wird zufällig gezogen ohne Zurücklegen und die jeweilige Farbe notiert. Wenn eine blaue Kugel gezogen wird ist Schluß, spätestens jedoch, wenn dreimal gezogen wurde.
63 (%class=abc%)
64 1. Gib einen möglichen Ergebnisraum an und skizziere das zugehörige Baumdiagramm.
65 1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
66 (%class=noborder%)
67 |{{formula}}A=\lbrace{{/formula}} Es wird dreimal gezogen. {{formula}} \rbrace {{/formula}}|{{formula}}B=\lbrace{{/formula}} Die zweite gezogene Kugel ist blau. {{formula}} \rbrace {{/formula}}
68 |{{formula}}C = A \cap B {{/formula}}|{{formula}}D = A \cup B {{/formula}}
69 {{/aufgabe}}
70
71 {{aufgabe id="Nüsse" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K5" quelle="Helmut Diehl, Frenzen" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
72 Vor vielen Jahren, als es noch keine Handyspiele gab, spielte man in der Weihnachtszeit beim Nüsse-Essen mit den Nussschalen.
73
74 Halbe Nussschalen wurden geworfen und bleiben so ◡ oder so ◠ liegen. Man hat immer zwei halbe Schalen geworfen.
75 Zwei Nussschalen liegen ◡ ◡ oder ◠ ◠ oder eine ◡ und die andere ◠.
76 Der Fall ◠ ◠ kam am seltensten vor. Aber die beiden anderen Fälle ( ◡ ◡ und verschiedene Lage) waren etwa gleich häufig.
77
78 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine halbe Nussschale in die Lage ◡ fällt.
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Formulierungen" afb="I" quelle="Holger Engels" kompetenzen="" zeit="2" cc="by-sa" tags=""}}
82 Unterstreiche mit Rot die Beschreibung des Ereignisses, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht wird und mit Grün das Ereignis, das schon eingetreten ist (Bedingung).
83 (%class=abc%)
84 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer schwangeren Frau ein negatives Ergebnis zeigt?
85 1. Wie groß ist der Anteil der Technikstudierenden unter den Frauen?
86 1. Von den Besuchern über 25 Jahren geben 80% eine positives Feedback.
87 {{/aufgabe}}
88
89 {{aufgabe id="Rennen" afb="II" kompetenzen="K3,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa"}}
90 Zu Beginn der Saison ist Rudi der stärkste Rennfahrer; seine Chance ein Rennen zu gewinnen liegt bei p = 0,6. Rudi nimmt in dieser Saison nur an 6 Rennen teil.
91 An wie vielen Rennen müsste Rudi mindestens teilnehmen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99,9 % mindestens einen Sieg zu erringen?
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="TÜV" afb="I" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa"}}
95 In einem Entwicklungsland werden beim TÜV lediglich die Bremsen und die Karosserie überprüft: Bei 82 % der untersuchten Wagen waren die Bremsen in Ordnung, bei 86 % war die Karosserie ohne Beanstandung. Bei 12 % der Fahrzeuge waren sowohl Bremsen als auch die Karosserie kaputt.
96 Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass
97 a) bei einem Wagen, bei dem die Karosserie defekt ist, auch die Bremsen kaputt sind?
98 b) bei einem Wagen mit defekten Bremsen die Karosserie ohne Beanstandungen bleibt?
99 {{/aufgabe}}
100
101 {{aufgabe id="Kugeln hinzufügen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
102 In einer Schüssel sind 20 rote und 10 gelbe Kugeln. Es werden mit einem Zug zwei Kugeln gezogen.
103 Wie viele blaue Kugeln müssen dazugegeben werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu bekommen,
104 a) genau {{formula}}\frac{70}{183}{{/formula}} ist? b) höchstens 0,4 ist? c) mindestens 0,5 ist?
105 {{/aufgabe}}
106
107 {{aufgabe id="Raucher" afb="I" kompetenzen="K3,K4" quelle="Beckstette, Glende, Grasemann, Haasis, Kolupa, Widmann" cc="by-sa" tags="problemlösen"}}
108 Unter den 2500 Mitarbeitern einer Firma sind 1600 Raucher. Von den 2000 Männern rauchen 1400.
109 Fülle die folgende Tabelle aus und berechne die fehlenden Zellen:
110
111 (%class="border slim"%)
112 |=|=Raucher|=Nichtraucher|
113 |=Frauen|||
114 |=Männer|||
115 | |||
116
117 Berechne
118 (%class=abc%)
119 1. den Anteil der Frauen an der Belegschaft,
120 1. den Anteil der Nichtraucher an der Belegschaft,
121 1. wie viel Prozent der Männer rauchen,
122 1. wie viel Prozent der Frauen rauchen
123 {{/aufgabe}}
124
125 {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Mengen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
126 In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
127 (% class=abc %)
128 1. Zeige, dass die Ereignisse {{formula}}A=\lbrace 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\rbrace {{/formula}} und {{formula}}B=\lbrace 1, 2, 4, 7, 9, 10, 14\rbrace {{/formula}} stochastisch abhängig sind.
129 1. Gib ein weiteres von //A// stochastisch abhängiges Ereignis //C// und ein von //A// stochastisch unabhängiges Ereignis //D// an.
130 {{/aufgabe}}
131
132 {{aufgabe id="Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" tags="problemlösen"}}
133 In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist {{formula}}\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace {{/formula}}.
134 (% class=abc %)
135 1. Gib ein Ereignis //E// an mit Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(E)=\frac{1}{7}{{/formula}}.
136 1. Begründe, warum zwei Ereignisse //F// und //G// mit {{formula}}P(F)=P(G)=0{,}8{{/formula}} stets stochastisch abhängig sind.
137 {{/aufgabe}}
138
139 {{aufgabe id="Marathonlauf" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K6" quelle="Abitur 2024" cc="BY-SA"}}
140 Von den Teilnehmern, die bei einem Marathonlauf nicht im Ziel angekommen sind, haben
141 * 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
142 * 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
143 * 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“
144 den Lauf abgebrochen.
145
146 (% class=abc %)
147 1. Berechne den Anteil derer, die den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
148 1. Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
149 {{/aufgabe}}
150
151 {{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" kompetenzen="K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_14.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
152 Ein Glücksrad besteht aus zwei Sektoren, die mit den Zahlen 2 bzw. 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einmaligem Drehen die Zahl 2 erzielt wird, beträgt //p//. Bei einem Spiel dreht eine Person das Glücksrad genau so oft, bis die Summe der erzielten Zahlen 5, 6, oder 7 beträgt. Bei der Summe 6 gewinnt die Person, sonst verliert sie.
153 1. Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
154 1. (((Die beiden folgenden Ereignisse sind stochastisch unabhängig:
155 E: „Beim ersten Drehen des Glücksrads wird die Zahl 2 erzielt.“
156 G: „Die Person gewinnt das Spiel.“
157 Ermittle eine Gleichung, die die Variable //p// enthält und die Berechnung des Werts von //p// ermöglicht.
158 )))
159 {{/aufgabe}}
160
161 {{aufgabe id="Kugelbehälter" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_18.pdf]]" niveau="g" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
162 Betrachtet werden drei Behälter A, B und C mit weißen und schwarzen Kugeln. Die Behälter sind von außen nicht unterscheidbar. Es gilt:
163
164 * Im Behälter A befinden sich dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln.
165 * Im Behälter B befinden sich 12 weiße und 4 schwarze Kugeln.
166 * Im Behälter C befinden sich 3 schwarze Kugeln und weiße Kugeln, deren Anzahl mit {{formula}}w{{/formula}} bezeichnet wird.
167
168 Bei einem Spiel wird einer der drei Behälter zufällig ausgewählt und anschließend daraus eine Kugel zufällig gezogen. Ist bei diesem Spiel die gezogene Kugel schwarz, kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Behälter C ausgewählt wurde, mit dem Term
169
170 {{formula fontSize="larger"}}\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}{{/formula}}
171
172 berechnet werden.
173
174 Weise dies nach und berechne {{formula}}w{{/formula}}, wenn die beschriebene Wahrscheinlichkeit den Wert {{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}} hat.
175 {{/aufgabe}}
176
177 {{lehrende}}Evtl. noch eine Aufgabe mit Prävalenz{{/lehrende}}
178
179 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="1"/}}