Lösung Bruchgleichungen und trigonometrische Gleichungen

Version 4.1 von Holger Engels am 2023/11/07 12:33

Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form x^4+2x^2+1=0 mit Hilfe Substitution (x^2=z) auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen z^2+2z+1=0 , welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.

Rückführung auf eine quadratische Gleichung
$\begin{align*} &\quad 2x + \frac{2}{x} &=&\: 5 & |\: \cdot x \\ \Leftrightarrow &\quad 2x^2 + 2 &=&\: 5x & \\ \Leftrightarrow &\quad 2x^2 - 5x + 2 &=&\: 0 & |\: MNF \\ \end{align*}$
$\Rightarrow x_1 = 0,5;\: x_2 = 2$
Rückführung auf einfache trigonometrische Gleichungen
$\begin{align*} &\quad sin⁡(x)+2 sin⁡(x)cos⁡(x) &=&\: 0 \quad;\quad [0; 2π] \\ \Leftrightarrow &\quad sin(x) \cdot \left(1 + 2 cos(x) \right) &=&\: 0 \\ \end{align*}$
$\Rightarrow sin(x) = 0 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=\pi;\quad x_3=2\pi$
$\vee\: cos(x) = 0,5 \Rightarrow x_4=\frac{2}{3}\pi;\quad x_5=\frac{4}{3}\pi$
Rückführung auf quadratische Gleichung
$\begin{align*} &\quad (cos⁡(x))^2 &=&\: 2 cos⁡(⁡x)-1 \quad;\quad [0; 2π] \\ \Leftrightarrow &\quad (cos⁡(x))^2 - 2 cos⁡(⁡x) + 1 &=&\: 0 \quad|\quad u:= cos(x) \\ \Leftrightarrow &\quad u^2 - 2u + 1 = 0 | Binom \\ \end{align*}$
$\Rightarrow u_{1,2} = 1$
$\Rightarrow cos(x)=1 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=2\pi$