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Lösung Bruchgleichungen und trigonometrische Gleichungen

Zuletzt geändert von Kathrin Schneeberger am 2025/03/20 21:55
Information

Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form  x^4+2x^2+1=0 mit Hilfe Substitution (x^2=z) auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen z^2+2z+1=0, welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.

  1. Rückführung auf eine quadratische Gleichung

    \begin{align*} &\quad 2x + \frac{2}{x} &=&\: 5 & |\: \cdot x \\ \Leftrightarrow &\quad 2x^2 + 2 &=&\: 5x & \\ \Leftrightarrow &\quad 2x^2 - 5x + 2 &=&\: 0 & |\: MNF \\ \end{align*}

    \Rightarrow x_1 = 0,5;\: x_2 = 2

  2. Rückführung auf einfache trigonometrische Gleichungen

    \begin{align*} &\quad sin⁡(x)+2 sin⁡(x)cos⁡(x) &=&\: 0 \quad;\quad [0; 2\pi] \\ \Leftrightarrow &\quad sin(x) \cdot \left(1 + 2 cos(x) \right) &=&\: 0 \\ \end{align*}

    \Rightarrow sin(x) = 0 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=\pi;\quad x_3=2\pi

    \vee\: cos(x) = 0,5 \Rightarrow x_4=\frac{2}{3}\pi;\quad x_5=\frac{4}{3}\pi

  3. Rückführung auf quadratische Gleichung

    \begin{align*} &\quad (cos⁡(x))^2 &=&\: 2 cos⁡(⁡x)-1 \quad;\quad [0; 2\pi] \\ \Leftrightarrow &\quad (cos⁡(x))^2 - 2 cos⁡(⁡x) + 1 &=&\: 0 \quad|\quad u:= cos(x) \\ \Leftrightarrow &\quad u^2 - 2u + 1 = 0 | Binom \\ \end{align*}

    \Rightarrow u_{1,2} = 1

    \Rightarrow cos(x)=1 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=2\pi