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Zuletzt geändert von kschneeberger am 2025/03/20 21:55
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1 {{info}}
2 Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form {{formula}}x^4+2x^2+1=0{{/formula}} mit Hilfe Substitution {{formula}} (x^2=z){{/formula}} auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen {{formula}} z^2+2z+1=0{{/formula}}, welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.
3 {{/info}}
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5 (% style="list-style: alphastyle" %)
6 1. (((
7 Rückführung auf eine quadratische Gleichung
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9 {{formula}}
10 \begin{align*}
11 &\quad 2x + \frac{2}{x} &=&\: 5 & |\: \cdot x \\
12 \Leftrightarrow &\quad 2x^2 + 2 &=&\: 5x & \\
13 \Leftrightarrow &\quad 2x^2 - 5x + 2 &=&\: 0 & |\: MNF \\
14 \end{align*}
15 {{/formula}}
16
17 {{formula}}
18 \Rightarrow x_1 = 0,5;\: x_2 = 2
19 {{/formula}}
20 )))
21 1. (((
22 Rückführung auf einfache trigonometrische Gleichungen
23
24 {{formula}}
25 \begin{align*}
26 &\quad sin⁡(x)+2 sin⁡(x)cos⁡(x) &=&\: 0 \quad;\quad [0; 2\pi] \\
27 \Leftrightarrow &\quad sin(x) \cdot \left(1 + 2 cos(x) \right) &=&\: 0 \\
28 \end{align*}
29 {{/formula}}
30
31 {{formula}}
32 \Rightarrow sin(x) = 0 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=\pi;\quad x_3=2\pi
33 {{/formula}}
34
35 {{formula}}
36 \vee\: cos(x) = 0,5 \Rightarrow x_4=\frac{2}{3}\pi;\quad x_5=\frac{4}{3}\pi
37 {{/formula}}
38 )))
39 1. (((
40 Rückführung auf quadratische Gleichung
41
42 {{formula}}
43 \begin{align*}
44 &\quad (cos⁡(x))^2 &=&\: 2 cos⁡(⁡x)-1 \quad;\quad [0; 2\pi] \\
45 \Leftrightarrow &\quad (cos⁡(x))^2 - 2 cos⁡(⁡x) + 1 &=&\: 0 \quad|\quad u:= cos(x) \\
46 \Leftrightarrow &\quad u^2 - 2u + 1 = 0 | Binom \\
47 \end{align*}
48 {{/formula}}
49
50 {{formula}}
51 \Rightarrow u_{1,2} = 1
52 {{/formula}}
53
54 {{formula}}
55 \Rightarrow cos(x)=1 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=2\pi
56 {{/formula}}
57 )))