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Lösung Bruchgleichungen und trigonometrische Gleichungen

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 16:25
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Es gibt Aufgaben, bei denen man das Problem mit Hilfe des eigenen Vorwissens auf ein bereits bekanntes und gelöstes Problem zurückführen kann. So lassen sich zum Beispiel Gleichungen der Form  \(x^4+2x^2+1=0\) mit Hilfe Substitution \( (x^2=z)\) auf eine bekannte quadratische Gleichung zurückführen \( z^2+2z+1=0\), welche dann z.B. mit der abc - Formel gelöst werden kann.

  1. Rückführung auf eine quadratische Gleichung

    \[\begin{align*} &\quad 2x + \frac{2}{x} &=&\: 5 & |\: \cdot x \\ \Leftrightarrow &\quad 2x^2 + 2 &=&\: 5x & \\ \Leftrightarrow &\quad 2x^2 - 5x + 2 &=&\: 0 & |\: MNF \\ \end{align*}\]
    \[\Rightarrow x_1 = 0,5;\: x_2 = 2\]

  2. Rückführung auf einfache trigonometrische Gleichungen

    \[\begin{align*} &\quad \sin⁡(x)+2 \sin⁡(x)\cos⁡(x) &=&\: 0 \quad;\quad [0; 2\pi] \\ \Leftrightarrow &\quad \sin(x) \cdot \left(1 + 2 cos(x) \right) &=&\: 0 \\ \end{align*}\]
    \[\Rightarrow \sin(x) = 0 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=\pi;\quad x_3=2\pi\]
    \[\vee\: \cos(x) = 0,5 \Rightarrow x_4=\frac{2}{3}\pi;\quad x_5=\frac{4}{3}\pi\]

  3. Rückführung auf quadratische Gleichung

    \[\begin{align*} &\quad (\cos⁡(x))^2 &=&\: 2 \cos⁡(⁡x)-1 \quad;\quad [0; 2\pi] \\ \Leftrightarrow &\quad (\cos⁡(x))^2 - 2 \cos⁡(⁡x) + 1 &=&\: 0 \quad|\quad u:= \cos(x) \\ \Leftrightarrow &\quad u^2 - 2u + 1 = 0 \ | \ \text{Binom} \\ \end{align*}\]
    \[\Rightarrow u_{1,2} = 1\]
    \[\Rightarrow \cos(x)=1 \Rightarrow x_1=0;\quad x_2=2\pi\]