BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

1  Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen  (2 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \((-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4\).
2. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

2  Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen  (3 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \(2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2\).
2. Untersuche die Gleichung \(a^b = b^a\). Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

3  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Terme \((5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1\).

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen \((a^m)^n\) und einer Potenz der Form \(a^k\) und gib an, wie sich der Exponent \(k\) aus \(m\) und \(n\) ergibt.

4  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen  (4 min) 𝕃

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^4\) das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
2. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^6\) das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

5  Zahlenfolge und Potenzschreibweise  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
4. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

6  Wertetabelle mit negativen Exponenten  (2 min) 𝕃

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

7  Von der Potenz zum Bruch  (2 min) 𝕃

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

1. \(3^{-5}\)
2. \( a^{-b}\)
3. \(8 \cdot b^{-2}\)

8  Vom Bruch zum negativen Exponenten  (1 min) 𝕃

Gib \( \frac{1}{8} \) in Potenzschreibweise an.

9  Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen  (6 min) 𝕃

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl \(\frac{1}{81}\) als Potenz \(b^n\) dar. Sie machen folgende Angaben:
S1: Für meine Darstellung gilt \(b = 3\).
S2: Für meine Darstellung gilt \(b = \frac{1}{3}\).
S3: Für meine Darstellung gilt \(b = 9\).
S4: Für meine Darstellung gilt \(n = 2\).
S5: Für meine Darstellung gilt \(n = -4\).
S6: Für meine Darstellung gilt \(n = -1\).

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von \(\frac{1}{81}\), falls möglich.
2. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
3. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
4. Gib  eine weitere Potenzdarstellung von \(\frac{1}{81}\) an.

10  Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen  (6 min) 𝕃

Gegeben sind drei Gleichungen (\(x \in \mathbb{R},\ x \ne 0\)):
G1. \(x^{-1} = -x\)
G2. \(x^{-1} = \frac{1}{x}\)
G3. \(x^{-1} = x\)

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
2. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   \(1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1\)
3. Begründe, warum der Fall \(x=0\) ausgeschlossen werden muss.

11  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
4. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten k der Form \(\frac{1}{n}\) auftreten.

12  Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die Gleichungen:
\((16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16\)

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für \(16^{\frac{1}{2}}\), \(8^{\frac{1}{3}}\) und \(16^{\frac{1}{4}}\) in Frage kommen.
2. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
3. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

13  Wertetabelle mit Exponenten 1/n  (3 min) 𝕃

Ergänze die Wertetabelle:

14  Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(81^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(0,0016^{\frac{1}{4}}\)

15  Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(\sqrt{3^5}\)
2. \(\sqrt[4]{9^2}\)
3. \(\sqrt[a]{b^c}\)

16  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n  (5 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
4. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form \(\frac{m}{n}\) auftreten.

17  Rationale Exponenten – Definition festlegen  (8 min)

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
\(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\)

1. Berechne für \(a=16,\ m=3,\ n=2\) und \(a=8,\ m=2,\ n=3\) jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Untersuche weitere Beispiele (z.B. \(a=-8,\ m=2,\ n=3\)) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
3. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
4. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für \(a^{\frac{m}{n}}\) eignet, und begründe deine Entscheidung.

18  Rationale Exponenten – Definition anwenden  (3 min) 𝕃

Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung \((a^{\frac{1}{n}})^m\).

1. \(16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
3. \(81^{\frac{3}{4}}\)

19  Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise  (5 min) 𝕃

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

1. \(a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}\)
2. \(\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}\)
3. \(\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}\)
4. \(\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}\)

20  Zehnerpotenzen – Muster erkennen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgende Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(10^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
4. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.

21  Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und einschätzen  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die folgenden Größen:

1. Ordne die Größen der Größe nach (von klein nach groß).
2. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
3. Eine Schülerin behauptet: „\(9 \cdot 10^{-5}\) ist größer als \(7 \cdot 10^{-3}\), weil 9 größer als 7 ist.“
   Nimm Stellung zu dieser Aussage und erläutere den Denkfehler.
4. Beschreibe eine Strategie, mit der man Größen in der Form \(a \cdot 10^n\) schnell vergleichen kann.

22  Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die folgenden Darstellungen derselben Zahl:

1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
2. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit und Lesbarkeit.
3. Beschreibe, welche Eigenschaft die Darstellung \(4{,}5 \cdot 10^{-4}\) von den anderen unterscheidet.
4. Erläutere, warum man Zahlen üblicherweise in der sogenannten Normdarstellung angibt.

23  Normdarstellung – Fehler erkennen und korrigieren  (5 min)

Gegeben sind Vorschläge von Schülerinnen und Schülern zur Normdarstellung.

1. Prüfe die folgenden Darstellungen. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
     \(0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\)  
     \(0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}\)  
     \(4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}\)  
     \(4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}\)

2. Ordne die fehlerhaften Darstellungen einer der folgenden Fehlerarten zu:

   • falscher Exponent
   • Mantisse nicht im Intervall \(1 \le a < 10\)
   • Dezimalverschiebung inkonsistent
3. Formuliere die Bedingungen für eine Normdarstellung der Form \(a \cdot 10^n\).
4. Gib zu \(0{,}00072\) zwei verschiedene Darstellungen an und kennzeichne diejenige, die eine Normdarstellung ist.

24  Normdarstellung prüfen und benennen  (3 min)

Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en \(123 \cdot 10^{12}\) und \(7,32 \cdot 10^{10}\).

1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
2. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.

25  Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en \(7 \cdot 10^{-5}\), \(1 \cdot 10^{2}\) und \(1 \cdot 10^{-10}\).

Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
Länge eines Fußballfeldes
Durchmesser eines Atoms
Dicke eines menschlichen Haares

1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
2. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.

26  Normdarstellung des Taschenrechners  (4 min) 𝕃

1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
   
2. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
   
   

27  Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten  (6 min) 𝕃

Gegeben ist die Zahl \(0{,}0004\).

1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
2. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.
3. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.