BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

1  Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen  (2 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \((-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4\).
2. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

2  Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen  (3 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \(2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2\).
2. Untersuche die Gleichung \(a^b = b^a\). Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

3  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Terme \((5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1\).

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen \((a^m)^n\) und einer Potenz der Form \(a^k\) und gib an, wie sich der Exponent \(k\) aus \(m\) und \(n\) ergibt.

4  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen  (4 min) 𝕃

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^4\) das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
2. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^6\) das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

5  Zahlenfolge und Potenzschreibweise  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
4. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

6  Wertetabelle mit negativen Exponenten  (2 min) 𝕃

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

7  Von der Potenz zum Bruch  (2 min) 𝕃

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

1. \(3^{-5}\)
2. \( a^{-b}\)
3. \(8 \cdot b^{-2}\)

8  Vom Bruch zum negativen Exponenten  (1 min) 𝕃

Gib \( \frac{1}{8} \) in Potenzschreibweise an.

9  Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen  (6 min) 𝕃

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl \(\frac{1}{81}\) als Potenz \(b^n\) dar. Sie machen folgende Angaben:
S1: Für meine Darstellung gilt \(b = 3\).
S2: Für meine Darstellung gilt \(b = \frac{1}{3}\).
S3: Für meine Darstellung gilt \(b = 9\).
S4: Für meine Darstellung gilt \(n = 2\).
S5: Für meine Darstellung gilt \(n = -4\).
S6: Für meine Darstellung gilt \(n = -1\).

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von \(\frac{1}{81}\), falls möglich.
2. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
3. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.

10  Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen  (6 min) 𝕃

Gegeben sind drei Gleichungen (\(x \in \mathbb{R},\ x \ne 0\)):

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
2. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   \(1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1\)
3. Begründe, warum der Fall \(x=0\) ausgeschlossen werden muss.

11  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
4. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten k der Form \(\frac{1}{n}\) auftreten.

12  Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die Gleichungen:

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für \(16^{\frac{1}{2}}\), \(8^{\frac{1}{3}}\) und \(16^{\frac{1}{4}}\) in Frage kommen.
2. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
3. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

13  Wertetabelle mit Exponenten 1/n  (3 min) 𝕃

Ergänze die Wertetabelle:

14  Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(81^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(0,0016^{\frac{1}{4}}\)

15  Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(\sqrt{3^5}\)
2. \(\sqrt[4]{9^2}\)
3. \(\sqrt[a]{b^c}\)

16  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n  (5 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
4. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form \(\frac{m}{n}\) auftreten.

17  Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen  (8 min) 𝕃

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:

  \(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\)

1. Berechne für \(a=16,\ m=3,\ n=2\) und \(a=8,\ m=2,\ n=3\) jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Untersuche weitere Beispiele (z.B. \(a=-8,\ m=2,\ n=3\)) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
3. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.

18  Rationale Exponenten – Definition anwenden  (3 min) 𝕃

Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung \((a^{\frac{1}{n}})^m\).

1. \(16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
3. \(81^{\frac{3}{4}}\)

19  Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise  (5 min) 𝕃

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

1. \(a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}\)
2. \(\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}\)
3. \(\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}\)
4. \(\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}\)

20  Zehnerpotenzen – Muster erkennen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(10^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
4. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.

21  Zehnerpotenzen – Größen vergleichen  (5 min) 𝕃

Gegeben sind folgende Maßzahlen:

1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach.
2. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen. Gehe dabei auch auf die Behauptung ein:  
   „\(9 \cdot 10^{-5}\) ist größer als \(7 \cdot 10^{-3}\), weil 9 größer als 7 ist.“
3. Beschreibe eine Strategie zum Vergleichen von Zahlen der Form \(\pm a \cdot 10^n\).

22  Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind Darstellungen derselben Zahl:

1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
2. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit.
3. Beschreibe, wodurch sich \(4{,}5 \cdot 10^{-4}\) von den anderen unterscheidet.
4. Erläutere, warum man Zahlen in Normdarstellung angibt.

23  Normdarstellung – Fehler erkennen  (5 min)

Gegeben sind Vorschläge:

• \(0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\)
• \(0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}\)
• \(4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}\)
• \(4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}\)

1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
2. Ordne Fehlerarten zu.
3. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.

24  Normdarstellung – Anwenden und interpretieren  (4 min)

1. Prüfe, ob \(123 \cdot 10^{12}\) und \(7{,}32 \cdot 10^{10}\) Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
2. Ordne die Zahlen \(7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}\) passenden Größenbeispielen zu.
3. Interpretiere eine Taschenrechneranzeige in wissenschaftlicher Schreibweise.

25  Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:

\(7 \cdot 10^{-5},\quad 1 \cdot 10^{2},\quad 1 \cdot 10^{-10}\).

Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
Länge eines Fußballfeldes
Durchmesser eines Atoms
Dicke eines menschlichen Haares

1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
2. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.

26  Normdarstellung des Taschenrechners  (4 min) 𝕃

1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
   
2. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.