BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

1  Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen  (2 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \((-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4\).
2. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

2  Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen  (3 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \(2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2\).
2. Untersuche die Gleichung \(a^b = b^a\). Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

3  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Terme \((5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1\).

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen \((a^m)^n\) und einer Potenz der Form \(a^k\) und gib an, wie sich der Exponent \(k\) aus \(m\) und \(n\) ergibt.

4  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen  (4 min) 𝕃

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^4\) das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
2. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^6\) das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

5  Zahlenfolge und Potenzschreibweise  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
4. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

6  Wertetabelle mit negativen Exponenten  (2 min) 𝕃

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

7  Von der Potenz zum Bruch  (2 min) 𝕃

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

1. \(3^{-5}\)
2. \( a^{-b}\)
3. \(8 \cdot b^{-2}\)

8  Vom Bruch zum negativen Exponenten  (1 min) 𝕃

Gib \( \frac{1}{8} \) in Potenzschreibweise an.

9  Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen  (6 min) 𝕃

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl \(\frac{1}{81}\) als Potenz \(b^n\) dar. Sie machen folgende Angaben:
S1: Für meine Darstellung gilt \(b = 3\).
S2: Für meine Darstellung gilt \(b = \frac{1}{3}\).
S3: Für meine Darstellung gilt \(b = 9\).
S4: Für meine Darstellung gilt \(n = 2\).
S5: Für meine Darstellung gilt \(n = -4\).
S6: Für meine Darstellung gilt \(n = -1\).

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von \(\frac{1}{81}\), falls möglich.
2. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
3. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.

10  Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen  (6 min) 𝕃

Gegeben sind drei Gleichungen (\(x \in \mathbb{R},\ x \ne 0\)):

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
2. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   \(1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1\)
3. Begründe, warum der Fall \(x=0\) ausgeschlossen werden muss.

11  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
4. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten k der Form \(\frac{1}{n}\) auftreten.

12  Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die Gleichungen:

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für \(16^{\frac{1}{2}}\), \(8^{\frac{1}{3}}\) und \(16^{\frac{1}{4}}\) in Frage kommen.
2. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
3. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

13  Wertetabelle mit Exponenten 1/n  (3 min) 𝕃

Ergänze die Wertetabelle:

14  Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(81^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(0,0016^{\frac{1}{4}}\)

15  Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(\sqrt{3^5}\)
2. \(\sqrt[4]{9^2}\)
3. \(\sqrt[a]{b^c}\)

16  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n  (5 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
4. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form \(\frac{m}{n}\) auftreten.

17  Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen  (8 min) 𝕃

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:

  \(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\)

1. Berechne für \(a=16,\ m=3,\ n=2\) und \(a=8,\ m=2,\ n=3\) jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Untersuche weitere Beispiele (z.B. \(a=-8,\ m=2,\ n=3\)) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
3. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.

18  Rationale Exponenten – Definition anwenden  (3 min) 𝕃

Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung \((a^{\frac{1}{n}})^m\).

1. \(16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
3. \(81^{\frac{3}{4}}\)

19  Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise  (5 min) 𝕃

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

1. \(a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}\)
2. \(\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}\)
3. \(\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}\)
4. \(\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}\)

20  Gleicher Wert – verschiedene Darstellungen  (4 min)

Gegeben ist die Zahl \(3{,}1415\).

1. Bestimme Darstellungen der Form \(a_n \cdot 10^n\) für mindestens drei verschiedene Exponenten \(n\).
2. Beschreibe, wie sich \(a_n\) verändert, wenn \(n\) vergrößert bzw. verkleinert wird.
3. Formuliere einen Zusammenhang zwischen \(a_n\) und \(n\), der für alle deine Darstellungen gilt.

21  Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und Strategie entwickeln  (5 min)

Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:

1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).
2. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
3. Formuliere und begründe eine allgemeine Strategie zum Vergleich von Zahlen der Form \(\pm a_n \cdot 10^n\).

22  Kommaverschiebung – Wirkung und Fehlvorstellungen  (5 min)

Gegeben ist die Zahl \(3{,}1415\).

1. Verschiebe das Komma der Zahl:

   • um zwei Stellen nach rechts
   • um zwei Stellen nach links

      Gib jeweils die entstehenden Zahlen an.

2. Stelle beide Zahlen in der Form \(a \cdot 10^n\) dar.

3. Eine Schülerin behauptet: „Wenn man das Komma nach rechts verschiebt, wird die Zahl kleiner.“

   • Prüfe die Aussage an deinen Beispielen.
   • Beurteile die Aussage und erläutere den Denkfehler.
4. Formuliere einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Verschiebung des Kommas und der Multiplikation mit \(10^n\).

23  Zahlen in der Form \(a_n \cdot 10^n\) darstellen und deuten  (4 min)

Gegeben sind die Zahldarstellungen:

1. Stelle jede der drei Zahlen in der Form \(a_n \cdot 10^n\) dar.
2. Wähle für jede Zahl eine Darstellung, bei der \(1 \le a < 10\) gilt.
3. Erläutere an einer deiner Darstellungen, welche Information durch \(a\) und welche durch \(10^n\) gegeben wird.

24  Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Zahldarstellungen:

1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
2. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung zur schnellen Bestimmung der Größenordnung.
3. Wähle eine geeignete Darstellung aus und begründe deine Entscheidung.

25  Normdarstellung – Fehler erkennen und begründen  (5 min)

Gegeben sind Vorschläge:

• \(0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\)
• \(0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}\)
• \(4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}\)
• \(4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}\)

1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
2. Begründe deine Korrekturen.
3. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung der Form \(a \cdot 10^n\) und erläutere, warum diese Bedingungen eine eindeutige Darstellung gewährleisten.

26  Normdarstellung – Größe und Genauigkeit unterscheiden  (3 min)

Gegeben sind Darstellungen:

1. Vergleiche die beiden Darstellungen hinsichtlich ihres Zahlenwertes.
2. Erläutere, welche Information sich in der Mantisse unterscheidet.
3. Erläutere, welche zusätzliche Information durch die Darstellung \(3{,}40 \cdot 10^6\) im Vergleich zu \(3{,}4 \cdot 10^6\) gegeben wird.

27  Normdarstellung und WTR-Darstellung  (4 min)

1. Gegeben sind Anzeigen eines Taschenrechners (sog. SCI-Notation):

   
   

   1. Gib die dargestellten Zahlen jeweils in Normdarstellung an.
   2. Gib die Zahlen zusätzlich in Dezimalschreibweise an.

2. Gegeben sind Zahlen in Normdarstellung (sog. wissenschaftliche Notation):

   \[3{,}2 \cdot 10^5,\quad 7{,}5 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}04 \cdot 10^8\]

   1. Gib diese Zahlen in der vom Taschenrechner verwendeten Schreibweise (SCI-Notation) an.
   2. Vergleiche die beiden Darstellungsformen und benenne einen Unterschied in ihrer Schreibweise.