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Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 12:26
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1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. (((
3 Gleichung {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}:
4 Dies ist äquivalent zu {{formula}}\frac{1}{x} = -x \;\Rightarrow\; 1 = -x^2 \;\Rightarrow\; x^2 = -1{{/formula}}.
5 Da es keine reellen Lösungen gibt, existieren **keine Beispiele**.
6 Beispiel für ein Gegenbeispiel: {{formula}}x=1{{/formula}} ⇒ {{formula}}1^{-1}=1 \neq -1{{/formula}}.
7
8 Gleichung {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}:
9 Dies gilt für alle {{formula}}x \ne 0{{/formula}}.
10 Beispiele: {{formula}}x=2{{/formula}} ⇒ {{formula}}2^{-1}=\frac{1}{2}{{/formula}},
11 {{formula}}x=-3{{/formula}} ⇒ {{formula}}(-3)^{-1}=\frac{1}{-3}{{/formula}}.
12
13 Gleichung {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}:
14 Dies ist äquivalent zu {{formula}}\frac{1}{x} = x \;\Rightarrow\; 1 = x^2{{/formula}}.
15 Lösungen: {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=-1{{/formula}}.
16 Beispiele: {{formula}}1^{-1}=1{{/formula}}, {{formula}}(-1)^{-1}=-1{{/formula}}.
17 )))
18
19 1. (((
20 Zuordnung:
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22 {{formula}}x^{-1} = -x \;\Leftrightarrow\; x^2 = -1{{/formula}}
23
24 {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x} \;\Leftrightarrow\; 1 = 1{{/formula}}
25
26 {{formula}}x^{-1} = x \;\Leftrightarrow\; x^2 = 1{{/formula}}
27
28 Begründung jeweils durch Umformen der Gleichungen (Multiplikation mit {{formula}}x{{/formula}}).
29 )))
30
31 1. (((
32 Der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} muss ausgeschlossen werden, da der Ausdruck {{formula}}x^{-1}{{/formula}} bzw. {{formula}}\frac{1}{x}{{/formula}} für {{formula}}x=0{{/formula}} nicht definiert ist.
33
34 Eine Division durch 0 ist nicht möglich, da es keine Zahl gibt, die mit 0 multipliziert den Wert 1 ergibt.
35 )))